LaTeX文档稍微改改丢上来试试，看样子还行
写着玩的，图是不可能挂上来了
一维动边界问题
考虑一维含时哈密顿的薛定谔方程： \begin{equation} \ii \hbar \pdv{\Psi(x, t)}{t} = \hat{H}(t) \Psi(x, t) \label{math:1} \end{equation} 给出瞬时本征态和瞬时本征能量： \begin{equation} E_n(t) \ket{n; t} = \hat{H}(t) \ket{n; t} \label{math:2} \end{equation} 则可以代入式\eqref{math:1}，利用本征态的完备性对算符和波函数进行展开： \begin{equation} \ii \hbar \pdv{t}(\sum_{n} c_n(t) \ket{n; t}) = \qty(\sum_n E_n(t) \ketbra{n; t}) \qty(\sum{n} c_n(t) \ket{n; t}) \end{equation} 其中$c_n(t)$为波函数的展开系数，利用本征态的正交归一性化简式子得到： \begin{equation} \ii \hbar \sum_n \qty(\pdv{c_n(t)}{t} \ket{n; t} + c_n(t) \pdv{\ket{n; t}}{t}) = \sum_n E(t) c_n(t) \ket{n; t} \end{equation} 为求矩阵元，将上式求和变量$n$改为$m$并左乘$\bra{n; t}$，化简得到： \begin{equation} \dv{c_n(t)}{t} = - \frac{\ii}{\hbar} E_n(t) c_n(t) - \sum_m \mel{n; t}{\pdv{t}}{m; t} c_m(t)\equiv \sum_m A^{m}{}_{n} (t) c_m(t) \label{math:3} \end{equation}
将式\eqref{math:2}对时间求微分，再左乘瞬时本征态，得到： \(\begin{equation} \mel{m; t}{\pdv{t}}{n; t}(E_n(t) - E_m(t)) = - \dot{E_n}(t) \delta^{m}_{n} + \mel{m; t}{\dv{\hat{H}(t)}{t}}{n; t} \end{equation}\) 当$n \neq m$时，代入式$\eqref{math:3}$可化简得： \(\begin{equation} \dv{c_n(t)}{t} = - \qty( \frac{\ii}{\hbar} E_n(t) + \mel{n; t}{\pdv{t}}{n; t} )c_n(t) -\sum_{m \neq n} \frac{\mel{n; t}{\dv{\hat{H}(t)}{t}}{m; t}}{E_m(t) - E_n(t)} c_m(t) \equiv\sum_m A^{m}{}_{n} (t) c_m(t) \label{math:4} \end{equation}\)
动边界一维无限深势阱
对动边界一维无限深势阱，在坐标表象下的瞬时本征态和瞬时本征能量如下所示： \(\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \psi_n(t) & = \ip{x}{n; t} = \sqrt{\frac{2}{a(t)}} \sin \frac{n \pi x}{a(t)} \quad (0\leqslant x \leqslant a(t)) \\ E_n(t) & = \frac{n^2 \hbar^2 \pi^2 }{2 \mu a^2(t)} \end{aligned} \right. \label{math:6} \end{equation}\) 式中，$a(t)$为势阱宽度，它是随时间改变的；$\mu$为粒子质量。
利用式\eqref{math:3}，可以得到方程的矩阵元： \(\begin{equation} A^{m}{}_{n} = \begin{cases} - \frac{\ii}{\hbar} E_n(t) , \quad m = n \\ \frac{2 (-1)^{m+n} m n}{m^2 - n^2} \frac{a'(t)}{a(t)} , \quad m \neq n \end{cases} \label{math:5} \end{equation}\)
对于这个问题，当满足$a^{\prime\prime}(t) a^3(t) = \text{const}$时，可以给出解的具体形式，尽管仍然不是解析解。取一个简单的情进行验证，当$a’(t) = \text{const}$时，可以精确给出波函数的完备基为： \begin{equation} \Psi_n(x, t) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin(\frac{n \pi}{a} x) \ee^{\frac{\ii (\mu a^{\prime} x^2 - 2E^i_n a_0 t) }{2 \hbar a}} \end{equation} 其中$E^i_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 \mu {a_0}^2}$，$a_0$是$t=0$时刻的势阱宽度。
显式数值方法
通过数值计算应该能够验证解，这里注意到式\eqref{math:5}矩阵的对角项可能导致方程刚性，所以最好提取出这一项，下面考虑： \begin{equation} c_n(t) = d_n(t) \ee^{- \frac{\ii}{\hbar} \int_{0}^{t} E_n(\tau) \dd \tau} \end{equation} 代入式子\eqref{math:3}则这个问题变为： \(\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \dv{d_n(t)}{t} &= \sum_m A'^{m}{}_{n}(t) \ee^{- \frac{\ii}{\hbar} \int_{0}^{t} (E_(\tau) - E_n(\tau)) \dd \tau} d_m(t) \\ A'^{m}{}_{n}(t) &= \mel{n; t}{\pdv{t}}{m; t} = \begin{cases} 0 , \quad m = n \\ \frac{2 (-1)^{m+n} m n}{m^2 - n^2} \frac{a'(t)}{a(t)} , \quad m \neq n \end{cases} \\ \psi(x, t) &= \sum_n d_n(t) \psi_n(x, t) \ee^{- \frac{\ii}{\hbar} \int_{0}^{t} E_n(\tau)\dd \tau} \end{aligned} \right. \end{equation}\) 其中波函数为$\psi(x, t)$；瞬时本征态和瞬时本征能量分别为$\psi_n(x, t)$和$E_n(t)$，由式\eqref{math:6}给出。
设定数值计算，取常量$\mu = 0.5, \hbar = 1$，初始波函数为一维固定无限深势阱基态，势阱初始宽度$a(0) = 1$，计算阶为5、10、20、50阶，计算方法为Runge-Kutta45法。
当势阱右边界移动速度$a’(t) = 2$时，时间步长0.002，空间步长0.002，计算$t=1$时波函数模方与解析解之间的误差，如？所示；当势阱右边界移动速度$a’(t) = -2$时，时间步长0.0005，空间步长0.001，计算$t=0.4$时波函数模方解析解之间的误差，如图？所示。
隐式数值方法
不提取动力学项，直接解刚性微分方程也是可行的，但此时显式方法不再适用，需要适用隐式的微分方程组求解方法，我们有以下题： \(\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \dv{c_n(t)}{t} &= \sum_m A^{m}{}_{n}(t) c_m(t) \\ A^{m}{}_{n}(t) &= \begin{cases} - \frac{\ii}{\hbar} E_n(t) , \quad m = n \\ \frac{2 (-1)^{m+n} m n}{m^2 - n^2} \frac{a'(t)}{a(t)} , \quad m \neq n \end{cases} \\ \psi(x, t) &= \sum_n c_n(t) \psi_n(x, t) \end{aligned} \right. \end{equation}\) 其中波函数为$\psi(x, t)$；瞬时本征态和瞬时本征能量分别为$\psi_n(x, t)$和$E_n(t)$，由式\eqref{math:6}给出。
设定数值计算，取常量$\mu = 0.5, \hbar = 1$，初始波函数为一维固定无限深势阱基态，势阱初始宽度$a(0) = 1$，计算阶为5、10、20、50阶，计算方法为BDF法（基于近似导数的隐式多步变阶向后微分方法）。
当势阱右边界移动速度$a’(t) = 2$时，时间步长0.002，空间步长0.002，计算$t=1$时波函数模方与解析解之间的误差，如？所示；当势阱右边界移动速度$a’(t) = -2$时，时间步长0.0005，空间步长0.001，计算$t=0.4$时波函数模方解析解之间的误差，如图？所示。
两种方法差别并不大，显式方法计算速度快于隐式方法，但是目前的情况势阱边界移动速度为常数，对于更加复杂的情况尚不确定二孰优孰劣。
取$n=50$的隐式方法计算得出的系数进行分析，做出系数模方$\abs{c_n}^2, (n=1, 2, 3, 4)$随时间变化的图如下，其中图？是边界右移（扩张）情况，图？是边界左移（收缩）情况。