课程复习笔记，对着课程讲义和课程参考书1整理的
2025.1.3 后面补充了一部分
群的基本概念
群
引言
- 历史：伽罗瓦 Galois、阿贝尔 Abel
- 范畴：代数
- 出发点：集合论
- 任务：分类、结构、表示
定义
对于集合 \(G = \{g_1, g_2, \cdots \}\)，在 $G$ 中定义乘法运算（群乘） $G \times G \rightarrow G$，如果 $G$ 中元素满足：
- 封闭性：$\forall a, b \in G, \ ab \in G$
- 满足结合律：$\forall a, b, c \in G, \ (ab)c = a(bc)$
- 存在单位元：$\exists e \in G, \ \forall a \in G, \ ea = ae = a$
- 均存在逆元：$\forall a \in G, \ \exists a^{-1} \in G, \ a a^{-1} = a^{-1} a = e$
则集合 $G$ 构成一个群，集合中元素称为群元，群元数目称为群的阶 $g$，若 $g$ 有限，则称作有限群，否则就是无限群
例子：空间反演群、$n$ 阶置换群、二面体群 $D_3$、空间平移群、三维转动群 $SO(3)$ ……
- Abel 群（交换群）
- 群乘满足交换律的群，即 $\forall a, b \in G, \ ab = ba$
- 循环群
- 所有群元都可以由某个元的幂来产生，这类群必定是 Abel 群
- 群表（群的乘法表）
- 各个群元之间互相乘积排成的一个表，给出群表就完全给定了一个群
- 群元的阶
- 群元的 $n$ 次幂等于单位元，则阶为 $n$，注意可以是无限阶的
- 生成元（生群元）
- 群中一个最小的集合中的元，此集合中的元素及其乘法关系可以构造出整个群
重排定理
设 \(G = \{g_\alpha \}, \ u \in G\)，当 $\alpha$ 取遍所有可能值时，左乘 $u g_\alpha$ 或者右乘 $g_\alpha u$ 给出并且仅此一次给出 $G$ 中的所有元素
子群和陪集
子群
设 $H \subset G$，若在 $G$ 的群乘下 $H$ 也构成一个群，则称 $H$ 为 $G$ 的子群，记作 $H \leq G$
性质：
- 任何一个群至少存在两个平庸子群，单位元构成的子群和群本身，其它子群称作真子群
- 充要条件是封闭性和存在逆元
- 有限群总有循环子群
陪集
设 $H$ 是 $G$ 的一个子群，取 $g \in G, \ g \notin H$，则集合 \(gH = \{ ge, gh_1, gh_2, \cdots \}\) 称为子群 $H$ 关于 $g$ 的左陪集
- 同理，可以定义右陪集
- 陪集不构成群
- $G$ 中的每一个元必定落在子群或子群的某个左（或右）陪集当中
- 陪集中的元素个数等于子群的阶
陪集定理
设群 $H$ 是群 $G$ 的子群，则 $H$ 的两个左（或右）陪集，要么有完全相同的元素，要么没有任何公共元素
Lagrange 定理（子群阶定理）
有限群的子群的阶，等于该有限群的阶的因子（有限群的阶可以被子群的阶整除），即 $g = h i$，其中 $h$ 是子群的阶，$i$ 称为子群的指数
推论 / 证明：可以将群 $G$ 按照子群 $H$ 的左（或右）陪集来分解，即写成 \(G = H + a_2 H + a_3 H + \cdots + a_i H\) ，其中 \(a_1=e, a_2, a_3 ,\cdots, a_i\) 称为陪集代表元，陪集代表元可以不同，但是各个陪集中的元是唯一确定的，此分解是唯一的
推论：阶为质数的群没有任何真子群，一定是循环群
共轭元与类
共轭元
对于 $g_1, g_2 \in G$，$\exists u \in G, \ u g_1 u^{-1} = g_2$，则称群元 $g_1$ 共轭于 $g_2$，记为 $g_1 \sim g_2$
- 对称性
- 传递性
- Abel 群的任一元素都共轭于自身
类
群 $G$ 中所有互相共轭的元素的集合称为一个（共轭元素）类，群 $G$ 中的任一类 $C$ 都满足 $\forall x \in G, \ x C x^{-1} = C$
- 一个类被这个类中任一元所完全决定
- 单位元自成一类
- 群中没有任何一个元属于两个不同的类的，即不同的类没有公共元素
- 除了单位元这一类外，其余各类都不是子群，因为它们没有单位元
- Abel 群中每个元自成一类
- 同类的元素有相同的阶
- 群可按类分割
类的相关定理
- 若 $\eta$ 是由群中若干完整的类构成的集合，则 $\forall x \in G, \ x \eta x^{-1} = \eta$
- 有限群中每类的元素个数等于群阶 $g$ 的因子，即设类 $C$ 的元数为 $h_c$，则有 $g / h_c = s$ 是整数
正规子群和商群
共轭子群
设 $H$ 和 $K$ 是群 $G$ 的两个子群，若有 $g \in G$，使得 \(K = g H g^{-1} = \{ k = ghg^{-1} \vert h \in H \}\)，则称 $H$ 是 $K$ 的共轭子群
- 共轭子群有相同的阶数
- 对称性
- 传递性
- 群的全部子群可分割为共轭子群类
正规子群（不变子群）
设 $H$ 是群 $G$ 的一个子群，若 $\forall g \in G, \ g H g^{-1} = H$，则称子群 $H$ 是群 $G$ 的正规子群，或不变子群，记作 $H \unlhd G$，若 $H \neq G$，则称为非平凡正规子群（真正规子群），记作 $H \lhd G$
- 单群
- 没有非平凡正规子群的群
正规子群性质及定理：
- 正规子群是左陪集和右陪集相同的子群，逆命题也成立，注意这并不意味着元素可交换
- 正规子群是群 $G$ 的若干个完整的类构成的子群，逆命题也成立
- 正规子群的一个陪集和另一个陪集的乘积（包括自乘）必为一个陪集或正规子群
商群
设 $H \lhd G$，则集合 \(\{g_i H \vert g_i \in G\}\) 在子集乘法作为群乘法下构成群，称为群 $G$ 在正规子群 $H$ 上的商群，记作 $G / H$，显然商群的阶为 $g / h$
同构与同态
同构
若存在映射 $\Phi: G \rightarrow F, \ \Phi(g_i) = f_i \in F$，映射是一一对应的满映射，即双射，且保持群乘法不变 $\forall g_1, g_2 \in G, \ \Phi(g_1 g_2) = \Phi(g_1) \Phi(g_2)$，则称群 $G$ 和群 $F$ 同构，记作 $G \cong H$
这里群乘法不变是指满足两个群各自的群乘法，实际上群的定义要带上群乘法，即记为群 $(G, \cdot)$
- 单位元互相映射
- 互逆元映射为互逆元
- 元素的阶不变
- 逆映射 $\Phi^{-1}$ 恒存在
- 两个群同构则一定同阶，乘法表相同，本质相同
同态
若存在映射 $\Phi: G \rightarrow F, \ \Phi(g_i) = f_i \in F$，保持群乘法不变 $\forall g_1, g_2 \in G, \ \Phi(g_1 g_2) = \Phi(g_1) \Phi(g_2)$，则称群 $G$ 和群 $F$ 同态，$\Phi$ 称为从 $G$ 到 $F$ 中的同态映射，如果映射是满射，则是满同态，如果映射是单射，则是单同态
本书以及本课程似乎默认是满同态，且称之为同态，所以本文以后也默认满同态，且不使用那个相似记号（
- 一个群总与仅有单位元构成的群同态
- 没有对称性
同态核定理
设从 $G$ 到 $F$ 有同态映射 $\Phi$，则 $G$ 中能映射到 $F$ 中单位元的元素的集合称之为同态核 \(H = \{g_i \vert \Phi(g_i) = e \in F \}\)，进一步有同态核定理：
- 同态核 $H$ 是 $G$ 的正规子群，即 $H \unlhd G$
- 商群 $G / H$ 和 $F$ 同构，即 $G / H \cong F$
证明先证同态核是子群，再证明正规子群，再陪集分解一一对应
自同构
- 自同构映射
- 群 $G$ 到自身的同构映射 $\nu: G \rightarrow G$
- 恒等映射是自同构映射
- $\nu^{-1}$ 必定存在
- 逆元关系不变，单位元不变
- 自同构群
- 两个自同构映射 $\nu_1$ 和 $\nu_2$ 的乘积 $\nu_1 \nu_2$ 定义为先实行 $\nu_2$ 再实行 $\nu_1$，则在此乘法下群 $G$ 的所有自同构映射构成一个群 \(\{\nu_{i}\}\)，称为自同构群，记作 $A(G)$ 或者 $\text{Aut}(G)$
内自同构映射 $\mu(g_{\alpha}) = u g_{\alpha} u^{-1}, \ u \in G$，同理可以定义内自同构群 \(\{\mu_{i}\}\)，记作 $I(G)$ 或者 $\text{In}(G)$
注意 $I(G)$ 是 $A(G)$ 的正规子群
变换群
定义和性质
设集合 $X$ 非空，$X$ 上的置换 $f$ 是将 $X$ 映射到自身的双射，即 $f: X \rightarrow X$
$X$ 的全体置换按照乘法 $fg(x) = f(g(x)), x \in X$ 构成一个群，称为 $X$ 上的完全对称群，记为 $S_X$
- 恒等变换是 $S_X$ 的单位元
- 若 $X$ 元素无限，则 $S_X$ 是无限群；若 $X$ 有 $n$ 个元素，则 $S_n$ 是阶为 $n!$ 的有限群
- $S_X$ 的任何一个子群，是 $X$ 的一个对称群（变换群）
Cayley 定理
群 $G$ 同构于其完全对称群 $S_G$ 的一个子群，特别的，当 $G$ 是 $n$ 阶有限群时，群 $G$ 同构于 $S_n$ 的一个子群
变换群的轨道
设 $G$ 是 $X$ 的一个变换群，若 $x, y \in X, \ \exists g \in G, \ gx = y$，则称 $x$ 是 $G$ 等价于 $y$，或称 $x$ 点与 $y$ 点等价，记作 $x \sim y$
- 对称性
- 传递性
含 $x \in X$ 的 $G$ 轨道：\(\{gx \vert g \in G \}\)
$X$ 的 $G$ 不变子集 $Y$：\(\forall g \in G, \ y \in Y, \ gy \in y\)
迷向子群
设 $G$ 是 $X$ 的一个变换群，对于 $x \in X$，\(G^{x} = \{h \in G \vert hx = x \}\) 称为 $G$ 对 $x$ 的迷向子群
轨道与迷向子群的关系
设 $G^{x}$ 是 $G$ 对 $x \in X$ 的迷向子群，则 $G^{x}$ 的每一个左陪集，把点 $x$ 映射为含 $x$ 的 $G$ 轨道中的一个特定的点 $y$
直积群
直积
设 $g_{1\alpha} \in G_1, \ g_{2\beta} \in G_2$，若 $g_{1\alpha}g_{2\beta} = g_{2\beta}g_{1\alpha}$，则元素 $g_{\alpha\beta} \equiv g_{1\alpha}g_{2\beta}$ 在乘法 $g_{\alpha\beta} g_{\alpha’ \beta’} = (g_{1\alpha} g_{1\alpha’})(g_{2\beta} g_{2\beta’})$ 下构成 $G_1$ 和 $G_2$ 的直积群 $G$，记作 $G = G_1 \otimes G_2 = G_2 \otimes G_1$
- \(G_1 \cong F_1 \equiv \{g_{1\alpha} e_2\}, \ G_2 \cong F_2 \equiv \{e_1 g_{2\beta}\}\)，则 $F_1$ 和 $F_2$ 是 $G$ 的正规子群
- 对 $G$ 的子群 $F_1$ 和 $F_2$，有 $F_1 \cap F_2 = e$
半直积
设群 \(G_1 = \{g_{1\alpha}\}, \ G_2 = \{g_{2\beta}\}\)，$G_1$ 的自同构群为 $A(G_1)$，若存在同态映射 $\Phi: g_{2\beta} \rightarrow \nu_{g_{2\beta}}, \ \nu \in A(G_1)$，则可定义半直积群 $G = G_1 \otimes_S G_2 = G_1 \wedge G_2$
其实就是要求 $G_a$ 在 $G_b$ 下不变，即 $\forall b \in G_b, \ b G_a b^{-1} = G_a$
因为直积要求对易（互相在对方下不变），所以半直积就是一个不变
\(G_1 \cong F_1 \equiv \{g_{1\alpha} e_2\}\)， $F_1$ 是 $G$ 的正规子群
群表示理论
矩阵直积与直和
直和
设 $A$ 为 $m$ 阶方阵，$B$ 为 $n$ 阶方阵，则定义直和为：
\[C = A \oplus B = \mqty[A & O_1 \\ O_2 & B]\]其中 $O_1$ 和 $O_2$ 为零矩阵，$C$ 是一个 $(m + n)$ 阶方阵
性质：
- $\Tr(A \oplus B) = \Tr{A} + \Tr{B}$
- $\det(A \oplus B) = \det{A} \cdot \det{B}$
- $(A_1 \oplus B_1)(A_2 \oplus B_2) = (A_1 A_2) \oplus (B_1 B_2)$
直积
设 $A$ 为 $(L \times M)$ 阶矩阵，$B$ 为 $(P \times Q)$ 阶矩阵，则二者直积定义为一个新的 $(I \times J)$ 阶矩阵 $C$，其中 $C_{lp, mq} = A_{l,m} B_{p,q}$，表示为 $C = A \otimes B$，显然 $I = LP, \ J = MQ$
性质：
- 对角矩阵的直积仍是对角矩阵
- 单位矩阵的直积仍是单位矩阵
- 幺正矩阵的直积仍是幺正矩阵
- $\Tr(A \otimes B) = \Tr{A} \cdot \Tr{B}$
- 若 $A_1$ 和 $A_2$ 以及 $B_1$ 和 $B_2$ 是同阶矩阵，$(A_1 \otimes B_1)(A_2 \otimes B_2) = (A_1 A_2) \otimes (B_1 B_2)$
- 一般来说 $A \otimes B \neq B \otimes A$
线性空间与群
线性空间
数域 $K$，向量集合 $V$，设 $a, b \in K, \ x,y,z \in V$，若定义加法 $x + y \in V$ 以及数乘 $ax \in V$，分别满足：
- 向量加法交换律 $x + y = y + x$
- 向量加法结合律 $x + (y + z) = (x + y) + z$
- 向量加法有唯一零元 $x + 0 = x$
- 向量加法有唯一逆元 $x + (-x) = 0$
- 数乘单位元 $1 x = x$
- 数乘与数域中乘法一致 $(ab)x = a(bx)$
- 数乘分配于向量加法 $a (x+y) = ax + ay$
- 数乘分配于数域加法 $(a+b)x = ax + bx$
则 $V$ 称作线性空间，线性空间 $V$ 构成可交换的加法群
基与坐标
$n$ 维线性空间 $V$ 中，可选 $n$ 个线性无关的向量 \(\{v_1, v_2, \cdots, v_n\}\) 作为 $V$ 的基
$\forall x \in V, \ x = \sum^{n}_{i=1} v_i x_i$，则有序数组 $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ 称为 $x$ 的坐标
线性变换
设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间，对 $x,y \in V,\ a \in K$，有映射 $A: V \rightarrow V, \ A(x) \in V, \ A(ax+y) = a A(x) + A(y)$，则 $A$ 称为线性变换
- $(aA)(x) = a(A(x))$
- $(A+B)(x) = A(x) + B(x)$
- $(AB)(x) = A(B(x))$
- 若 $A$ 是双射，则存在逆线性变换 $A^{-1}$
基在线性变换 $A$ 做作用下有 \(A v_j = \sum^{n}_{i=1} v_i A_{ij}\)，展开系数 $A_{ij}$ 就是线性变换 $A$ 的矩阵表示
内积
设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间，将 $V$ 中两个有序向量 $x, y$ 映射为 $(x \vert y) \in K$，且满足：
- $(x+y \vert z) = (x \vert z) + (y \vert z)$
- $(x \vert ay) = a(x \vert y)$
- $(x \vert y) = (y \vert x)^*$
- 若 $x \neq 0$，则 $(x \vert x) > 0$
则称 $(\cdot \vert \cdot): V \times V \rightarrow K$ 为内积
- 内积空间
- 有内积定义的线性空间
厄米共轭
对算符 $A$ 和 $B$，若 $(f \vert A g) = (B f \vert g)$，则称二者厄米共轭，记作 $A^\dagger = B$
- 矩阵厄米共轭就是取转置复共轭
- $(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger$
- 厄米算符
- 与自身厄米共轭的算符，复空间中本征值是实数
幺正
如果 $U^\dagger = U^{-1}$，即 $U^\dagger U = I$，则 $U$ 是幺正算符（酉算符）
- 不改变矢量内积 $(Uf \vert Ug) = (f \vert g)$，故也不改变矢量的模
- 不改变算符的本征值
- 不改变算符的厄米性
- 正交算符（转置算符）
- 实数空间中的幺正算符，对矩阵而言就是等于自身转置，是对称矩阵
复一般线性群
设 $V$ 是 $n$ 维复向量空间，定义乘法为连续两次线性变换，$V$ 上全部线性变换构成一个群，称为复一般线性群 $GL(n, C)$，或 $GL(V, C)$
- 无穷群
- 单位元是恒等变换，互逆元都是互逆变换
- 同构于全部 $n$ 阶复方阵构成的群
- 线性变换群 $L(V, C)$
- $V$ 上非奇异线性变换构成的群，显然是 $GL(V, C)$ 的子群
奇怪了，有限维下 $GL(n, C)$ 当然是非奇异的……
代数
设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间，若在 $V$ 中定义向量乘法，且对 $x,y,z \in V, \ a \in K$ 有
- 封闭性 $xy \in V$
- $x(y + z) = xy + xz, \ (x + y) z = xz + yz$
- $a(xy) = (ax)y = x(ay)$
则 $V$ 称为线性代数或代数，当满足结合律 $(xy)z = x(yz)$ 时，称为可结合代数或结合代数
群空间
设 $C$ 是复数域，群 \(G = \{g_{\alpha}\}\) 原来只有乘法运算，若定义加法和数乘：
\[x = \sum_{\alpha} x_{\alpha} g_{\alpha}, \ y = \sum_{\alpha} y_{\alpha} g_{\alpha}, \ x_{\alpha}, y_{\alpha} \in C,\] \[x + y = \sum_{\alpha} (x_{\alpha} + y_{\alpha}) g_{\alpha}, \ ax = \sum_{\alpha} (a x_{\alpha}) g_{\alpha}\]则以 \(\{g_{\alpha}\}\) 作为基矢所张成的线性空间称为群空间 $V_G$
群代数
群空间 $V_G$ 上定义 $x, y$ 的乘法：
\[xy = \sum_{\alpha} (x_{\alpha} g_{\alpha}) \sum_{\beta} (y_{\beta} g_{\beta}) = \sum_{\alpha, \beta} (x_{\alpha} y_{\beta}) (g_{\alpha} g_{\beta}) = \sum_{\gamma} (xy)_{\gamma} g_{\gamma}\]则群空间 $V_G$ 构成一个结合代数，称为 $G$ 的群代数 $R_{G}$
群表示
群的线性表示
群 $G$ 到线性空间 $V$ 上的线性变换群 $L(V, C)$ 的同态映射 $A: G \rightarrow L(V, C)$ 称为 $G$ 的一个线性表示
- $V$ 称为表示空间，表示的维数即是 $V$ 的维数
- 保持群乘法不变
- 任意群元的表示矩阵应当是非奇异的
取 $V$ 中的一组正交归一基 \(\{v_i\}, \ i=1,2,\cdots,n\)，当群 $G$ 的一个元 $g$ 的表示 $A(g)$ 作用于基矢 $v_i$，则得到 $A(g) v_i = \sum^n_{j = 1} v_j A_{ji}(g)$，故矩阵元为 $A_{ji}(g) = (v_j \vert A(g) v_i)$，这样可以得出所有元的表示矩阵，这些矩阵给出 $G$ 的一个表示
- 群中单位元必须对应于群表示中的单位矩阵
- 群中互逆元必须对应于群表示中的互逆的两个矩阵
- 恒等表示
- $A(g_i) = 1$
- 忠实表示（确实表示）
- 群 $G$ 与矩阵群 $A$ 是同构的
- 非忠实表示（不确实表示）
- 群 $G$ 到矩阵群 $A$ 是同态的
- 自然表示
- 群 $G$ 本身是矩阵群，则本身就是所有可能表示中的一个
有限群的正则表示（正规表示）
任一有限群必定存在一个忠实表示，定义左正则表示为 $L(g_i) g_j = g_i g_j$，取 $g_i$ 为 $n$ 维线性空间自然基，则 $L(g_i)$ 是 $n$ 阶方阵，且每行每列只有一个非零元
等价表示
- 相似变换
- 对方阵 $M$，用一个非奇异的同维方阵 $S$ 进行变换 $M’ = S M S^{-1}$，那么 $M’$ 就称作 $M$ 的相似变换
两个以相似变换联系起来的表示称为等价表示
可约与不可约表示
设群 $G$ 有两个表示，则二者对应元的表示矩阵直和的集合也是群 $G$ 的一个表示，即 $D(g_i) = A(g_i) \oplus B(g_i)$
- 若群 $G$ 的一个表示 $D(g_i)$ 的等价表示具有准对角形式（可以写成若干矩阵的直和），则称这个表示 $D$ 是完全可约的
- 若群 $G$ 的一个表示 $D(g_i)$ 的任何等价表示都不具有准对角形式，则称这个表示 $D$ 是不完全可约的
- 可约表示：若表示 $D$ 的一个等价表示具有准上三角形式 \(\mqty[A(g_i) & C(g_i) \\ 0 & B(g_i)]\)
- 不可约表示：若表示的任何等价表示都没有准上三角形式
幺正表示
若群 $G$ 的一个表示 $D$ 中的所有矩阵都是幺正矩阵，即 $D^\dagger(g_i) = D^{-1}(g_i) = D(g_i^{-1})$，则称之为幺正表示
- 一个幺正表示若可约，则完全可约
- 群的任何幺正表示若可约，则它等价于群的一些不可约表示的直和
直积群的表示
群的两个表示的直积也是群的一个表示
直积群 $G = H \otimes K$，若子群 $H$ 的一个表示为 $A$，子群 $G$ 的一个表示为 $B$，则 $C(h_i k_j) = A(h_i) \otimes B(k_j)$ 是群 $G$ 的一个表示，称为直积群的表示
- 若 $A$ 和 $B$ 分别是子群 $H$ 和 $K$ 的幺正表示，则表示 $C$ 也是群 $G$ 的幺正表示
- 若 $A$ 和 $B$ 分别是子群 $H$ 和 $K$ 的不可约表示，则表示 $C$ 也是群 $G$ 的不可约表示
- 直积群 $G$ 的所有不可约表示，都是两子群的不可约表示的直积
有限群表示的基本定理
有限群表示必然有等价幺正表示
有限群的任何非奇异的矩阵表示，都可以通过相似变换变成幺正的矩阵表示（都有等价的幺正表示）
- 有限群的表示若可约，则完全可约
- 有限群的表示或者是不可约的，或者等价于几个不可约表示的直和
Schur 引理
- 和群 $G$ 的一个不可约表示的所有矩阵可对易的矩阵一定是单位矩阵的常数倍
先说明此命题中任意矩阵都可以变为厄米矩阵，再对角化得证
- 设群 $G$ 的两个不可约表示 $A$ 和 $B$，分别是 $s_A$ 阶和 $s_B$ 阶矩阵的集合，如果有一个 $(s_b \times s_A)$ 的矩阵 $M$ 满足 $\forall g_k \in G, \ M A(g_k) = B(g_k) M$，则当 $s_A \neq s_B$ 时，$M$ 是零矩阵；当 $s_A = s_B$ 时，$M$ 要么是零矩阵，要么是行列式不为零的矩阵，此时 $A$ 和 $B$ 是等价表示
正交性定理
设 $G$ 是 $g$ 阶有限群，$D^{(1)}$ 和 $D^{(2)}$ 是群 $G$ 的两个不等价的不可约的幺正表示，且分别是 $n_{1}$ 和 $n_{2}$ 阶矩阵的集合，则有：
\[\sum_{g_k \in G} D^{(i)}(g_k)^*_{\alpha \gamma} \cdot D^{(j)}(g_k)_{\beta \delta} = \delta_{ij} \delta_{\alpha \beta} \delta_{\gamma \delta} \frac{g}{n_{j}} , \quad i, j \in \{1, 2\}\]结论显然，但证明不是很显然，略，见书1第37页
Burnside 定理
群 $G$ 的所有不等价不可约幺正表示的维数的平方和等于群的阶，即 $g = \sum_{t = 1}^{q} n_t^2$
证明需要特征标理论
完备性定理
有限群 $G$ 的所有不等价不可约幺正表示所产生的函数 $D^{(t)}(g_k)_{\mu \nu}$，在群上所有函数空间中是完备的
特征标理论
特征标
若 $A$ 是群 $G$ 的一个表示，则 $\chi (g_i) = \Tr{A(g_i)}$ 称为群元 $g_i$ 在表示 $A$ 中的特征标，所有这些数的集合称为表示 $A$ 的特征标系 $\chi_{G}$ （简称特征标）
- 群的一维表示的特征标就是该表示本身
- 等价表示的特征标相同，因为相似变换不改变矩阵的迹
- 群中属于同一类的元素，其特征标相同，故特征标是类的函数
- 可约表示的特征标，等于约化后各个不可约表示的特征标之和
- 不可约表示的特征标标积等于1，可约表示则大于1
特征标正交性定理
不等价的不可约表示的特征标是正交归一的，即对于 $g$ 阶有限群 $G$，两个不等价不可约表示分别为 $D^{(1)}$ 和 $D^{(2)}$，对应的特征标 $\chi^{(1)}$ 和 $\chi^{(2)}$ 满足：
\[\sum_{g_k \in G} \chi^{(i)}(g_k)^* \cdot \chi^{(j)}(g_k) = g \delta_{i j}\]或者
\[\begin{equation} \sum_{C} h_C \chi^{(i)}(C)^* \cdot \chi^{(j)}(C) = g \delta_{i j} \label{math:1} \end{equation}\]其中 $h_C$ 是类 $C$ 的群元数目
特征标矢量
令 $\nu^{(i)}(C) = \sum_{C} \sqrt{\frac{h_C}{g}} \chi^{(i)}(C)$ ，其中 $h_C$ 是类 $C$ 中的元数，$g$ 是群的阶，设群有 $k$ 个类，则 $\nu^{(i)}(C)$ 可看成 $k$ 维空间的矢量 $\vb*{\nu^{(i)}}$ 的分量，称为特征标矢量，其所在空间称为类空间
正交性关系可改写为：$\sum_{C} \qty(\nu^{(i)}(C))^* \cdot \nu^{(j)}(C) = \delta_{ij}$
群的所有不可约表示的特征标在类空间是完备的
重要推论：
- 群的所有不等价不可约表示的数目等于群的类的数目
-
两个不同类之间的特征标互相正交
\[\begin{equation} \sum_{i = 1}^{r} \chi^{(i)}(C_l)^* \cdot \chi^{(i)}(C_m) = \frac{g}{h_l} \delta_{lm} \label{math:2} \end{equation}\]即 $g$ 阶有限群中有 $r$ 个不等价不可约表示，类 $C_l$ 中的元数为 $h_l$，它和类 $C_m$ 的特征标对各不可约表示下求和的内积是正交的，这就是特征标的完全性关系，也称作特征标第二正交关系式
特征标表
因为群的所有不等价不可约表示的数目等于群的类的数目，所以特征标表是一个正方形的表，列用类表示，行用不等价不可约表示来标记
利用 Burnside 定理、正交性关系式 $\eqref{math:1}$、第二正交性关系式 $\eqref{math:2}$，再注意到一维恒等表示中特征标均为常数 $1$，便可求出特征标表的所有值，这称作正交法
例如 $D_3$ 群的特征标表为：
| $D_3$ 群 | \(\{e\}\) | \(\{d,f\}\) | \(\{a,b,c\}\) |
|---|---|---|---|
| $\chi^{(1)}$ | 1 | 1 | 1 |
| $\chi^{(2)}$ | 1 | 1 | -1 |
| $\chi^{(3)}$ | 2 | -1 | 0 |
点群
对称操作及对称群
对称变换
保持任意两点距离不变，且把变换对象映射为自身的变换称之为对称变换，比如定轴转动、反演、反射、平移等
分类：
- 点式对称操作：在进行操作时，至少有一个点保持不变，比如反射和旋转
- 非点式对称操作：在进行操作时，没有一个点保持不变，比如平移、螺旋、滑移
平移对称性仅对无限系统或者周期性边界，晶体宏观上只可能有点式对称操作，微观上无界可能有非点式对称操作
对称群
所有对称变换的集合，在乘法 $(O_1 O_2) X = O_1 (O_2 X)$ 下构成的群称之为对称群，若被变换对象是三维空间中的有限点集，则称为点群
分子点群
定义
- 第一类点群：如果点群只含有转动元
- 第二类点群：除转动元外，点群还含有反演或反射元
- 对称操作：点群的群元也被称作对称操作
- 对称元素：在对称操作下固定不变的 $X$ 的子集，比如转轴、对称中心等
点群元素
所有可能元素分为以下四类：
- 转动 \(C_n: C_{\vb*{k}}(\frac{2 \pi}{n})\)，对称元素为转轴 \(\vb*{k}\)
- 反演 $I$，对称元素为原点
- 平面反射 $\sigma_{k}$，对称元素为反射平面
- 转动反演 $I C_n$，对称元素为原点
本征矢存在定理
对第一类点群中的任意元 $g$，总是有本征矢 $\vb*{k}$，使得 \(g \vb*{k} = \vb*{k}\)
证明需注意到第一类点群只有转动，则 $g$ 是幺正的，转置行列式不变，证明行列式为零即可
注意对二维实空间定理不成立
三维正当转动群共轭类
任何三维正当转动群中的群元 $g \in SO(3)$ 都可用单位矢量 \(\vb*{k}\) 和绕转轴 \(\vb*{k}\) 的转角 $\phi$ 表示为 \(C_{\vb*{k}}(\phi)\)，并且总可以找到坐标架转动 $X$ 使得：
\[X C_{\vb*{k}}(\phi) X^{-1} = C_z(\phi) = \mqty[\cos{\phi} & -\sin{\phi} & 0 \\ \sin{\phi} & \cos{\phi} & 0 \\ 0 & 0 & 1]\]因此迹 $\Tr[C_{\vb*{k}}(\phi)] = 1 + 2 \cos{\phi}$ 仅依赖于转角，与转轴无关，故 $SO(3)$ 群中具有相同转角的元素，属于同一共轭类（因为特征标是类的函数）
轴转动群
设 $G$ 是绕固定轴 \(\vb*{k}\) 转动所生成的 $n$ 阶群，则 \(G = \{C_{\vb*{k}}(\frac{2\pi}{n})\}\)，\(\vb*{k}\) 称为 $n$ 阶转动轴，$G$ 称为 $C_n$ 群，是 $n$ 阶循环群
点群分类
设 $G$ 是点群，$K \leq G$ 是转动子群，则有三种可能：
- $G = K$，则 $G$ 是第一类点群
- $G \neq K$，且 $G$ 包含反演元 $I$，则 $G = K \cup I K$
- $G \neq K$，且 $G$ 不包含反演元 $I$，则 \(G \cong G^{+} = K \cup K^{+}, \ K^{+} = \{Ig \vert g \in G,\ g \notin K \}\)
第一类点群
基本方程
以坐标原点画一个单位半径的球，如果存在一个 $m$ 度轴，即构成群 $C_m$，那么这个轴必与球面交于两点 $P$ 及 $P’$，这两点在转动中保持不动，称为极点，也称 $m$ 重极点
若 $g_j \in G, \ g_j \notin C_m$，则 $g_j$ 会使 $m$ 重极点移动到 $P_j$ 和 $P’_j$ 处，故他们也是 $m$ 重极点
由 $G$ 中各种不属于 $C_m$ 的转动形成的极点的集合 \(\{P_1, P_2, \cdots, P_{\nu}\}\) 称之为极点星，用 $(m, \nu)$ 来表示，注意 $P$ 和 $P’$ 不一定属于同一组极点星
点群 $G$ 按照子群 $C_m$ 作陪集分解时陪集代表元 $g_j$ 的个数就是极点数 $\nu$，设点群共有 $\lambda$ 组极点星，则共有 $\sum_{i = 1}^{\lambda} \nu_i (m_i - 1)$ 个极点，同时由于群阶为 $g$，除了单位元剩下的群元每一个都有两个极点，故有：
\[\sum_{i = 1}^{\lambda} \nu_i (m_i - 1) = 2(g - 1)\]又点群 $G$ 按照子群 $C_{m_i}$ 的陪集分解可得 $\nu_i m_i = g$，则第一类点群的基本方程为：
\[\sum_{i = 1}^{\lambda} \qty(1 - \frac{1}{m_i}) = 2 \qty(1 - \frac{1}{g})\]这个证明很奇怪，考虑极点数目不如去考虑非单位元转动的数目，这样对每个极点星都是极点数目一半乘上转动次数减一，求和等于群阶减一
所有可能情况
$\lambda = 2$
此时只有两个极点星，每个都只有一个极点，正好构成一个 $n$ 重轴，所以就是循环群 $C_n$
$\lambda = 3$
- 二面体群 $D_n$，极点星 $(2, n), \ (2, n), \ (n, 2)$，群阶 $g = 2m$，$n$ 为奇数和偶数时类数量不同
就是除了 $n$ 重轴以外，垂直于轴的平面上还有 $n$ 个二重轴
- 四面体群 $T$，极点星 $(2, 6), \ (3, 4), \ (3, 4)$，群阶 $g = 12$
- 八面体群 $O$，极点星 $(2, 12), \ (3, 8), \ (4, 6)$，群阶 $g = 24$
- 二十面体群 $P$，极点星 $(2, 30), \ (3, 20), \ (5, 12)$，群阶 $g = 60$
以上各群的不可约表示略，注意 $C_n$ 是循环群，全是一维表示
第二类点群
含反演元
对 $C_n, \ D_n, \ T, \ O, \ P$，各自左乘反演元后和自身取并集即可得到5个群，用下标加 $h$ 来表示
不含反演元
与 $C_{2n}, \ D_n, \ D_{2n}, \ O$ 同构的四个群
详细略
晶体对称性
晶体相关概念略
晶格制约定理
设 $G$ 是晶格点群，则群中转动元素只可能由 $E, \ C_2, \ C_3, \ C_4, \ C_6$ 生成，转动反演元只可能由 $ I, \ I C_2, \ I C_3, \ I C_4, \ I C_6$ 生成
因为晶格矢量变换后只能在晶格上，故是原来的整数倍，$1 + 2 \cos{\theta} \in Z$ 便得到所有可能解
晶体的非固有点群
- $I$ 型非固有点群 $G’$：包含 \(\sigma,\ G' = G \otimes \{E, \sigma\}\)
- $P$ 型非固有点群 $G’’$：不包含 $\sigma$，若 $G = H \cup K$，$H$ 是不变子群，$G/H$ 等价于2阶群，则 $G’’ \cong H \cup \sigma K$
32个晶格点群
- 第一类晶格点群：$C_1, \ C_2,\ C_3,\ C_4, \ C_6;\ D_2,\ D_3,\ D_4,\ D_6;\ T,\ O$
- 第二类晶格点群：$S_2,\ S_4,\ S_6;\ C_{1h}, \ C_{2h},\ C_{3h},\ C_{4h}, \ C_{6h};\ C_{2v},\ C_{3v},\ C_{4v}, \ C_{6v};\ D_{2h},\ D_{3h},\ D_{4h},\ D_{6h};\ D_{2d},\ D_{3d}; \ T_h,\ O_h,\ T_d$
7个晶系
可用晶格的最大晶体点群对晶格进行分类
- 三斜系 $S_2$：$C_1,\ S_2$
- 单斜系 $C_{2h}$：$C_2, \ C_{2h}, \ C_{1h}$
- 正交系 $D_{2h}$：$D_2, \ D_{2h}, \ C_{2v}$
- 四角系 $D_{4h}$：$C_4, \ C_{4h}, \ C_{4c}, \ D_4, \ D_{4h}, \ D_{2d}, \ S_4$
- 三角系 $D_{3d}$：$C_3, \ C_{3v}, \ D_3, \ D_{3d}, \ S_6$
- 六角系 $D_{6h}$：$C_6, \ C_{6h}, \ C_{6v}, \ C_{3h}, \ D_{6}, \ D_{6h}, \ D_{3h}$
- 立方系 $O_h$：$T, \ T_{h}, \ T_{d}, \ O, \ O_{h}$
具体应用
晶体宏观性质
在转动操作下，各分量变换为
\[T'_{ij \ \cdots} = \sum_{m,n,\cdots} \qty[D(R)_{im} D(R)_{jn} \cdots] T_{mn \ \cdots}\]称为 $\alpha$ 阶张量
张量部分略，利用对称性可以知道独立分量个数，略
转动群
$SO(3)$ 群
定义
若 \(\hat{O} \vb*{r} = \vb*{r}' \in R^3\)，且 \(\qty( \hat{O} \vb*{r} \Big\vert \hat{O} \vb*{r}) = \qty( \vb*{r} \vert \vb*{r})\)，则 $\hat{O}$ 称为正交变换，或称转动算符
所有正交变换构成的群称为三维实正交群 $O(3)$，若用正交基下的三维实正交矩阵 $O$ 表示，则 $O^T O = E, \ \det{O} = \pm 1$
定义三维正当转动群 \(SO(3) = \{O \in O(3) \vert \det{O} = 1 \}\)，有直积关系 \(O(3) = SO(3) \otimes \{E, I\}\)
正当转动的表示
并矢表示 \(\vb*{r'} = R \vb*{r}\)，设 \(I = \vb*{i} \vb*{i} + \vb*{j} \vb*{j} + \vb*{k} \vb*{k}\)，\(\vb*{u}\) 为转轴，$\phi$ 为转角，则有
\[R = \vb*{u} \vb*{u} + (I - \vb*{u} \vb*{u}) \cos{\phi} + I \cp \vb*{u} \sin{\phi}\]嗯，就是张量，建议用 Einstein 求和记号直接写分量
取转轴的方向余弦可以表示成矩阵形式，略
欧拉角表示 $R(\alpha,\beta,\gamma) = R(z, \alpha) R(y, \beta) R(z, \gamma)$，可以展开写成三阶矩阵
$SU(2)$ 群
定义
若 $u^\dagger u = E, \ \det{u} = 1$，则 $u$ 是复空间中的二维幺模幺正矩阵，其最一般形式为 \(u = \mqty[a & b \\ -b^* & a^*]\)，幺模条件为 \(a a^{*} + b b^{*} = 1\)
上述所有二维幺模幺正矩阵以矩阵乘法构成的群称为二维幺模幺正群 $SU(2)$，注意 $a, b \in C$，但每个群元只有三个独立变量
Pauli 矩阵
\[\sigma_x = \mqty[ 0 & 1 \\ 1 & 0 ], \ \sigma_y = \mqty[ 0 & -\ii \\ \ii & 0 ], \ \sigma_z = \mqty[ 1 & 0 \\ 0 & -1 ]\]它们的线性组合为：
\[M = x \sigma_{x} + y \sigma_{y} + z \sigma_{z} = \vb*{r} \vdot \vb*{\sigma} = \mqty[z & x-\ii y \\ x + \ii y & -z]\]性质：
- 厄米性 $M^\dagger = M$
- 迹为零 $\Tr{M} = 0$
- $\det{M} = - \qty(x^2 + y^2 + z^2) = - \abs{\vb*{r}}^2$
反之，满足上述1、2两条性质的任何二维复矩阵都可以写成 Pauli 矩阵的线性组合
$SO(3)$ 和 $SU(2)$ 的同态关系
构造
若 $u \in SU(2)$，取 $M’ = u M u^\dagger$，由于幺正变换下厄米性不变、迹不变，所以 $M’$ 也可以写成 Pauli 矩阵的线性组合，即 \(M' = \vb*{r}' \vdot \vb*{\sigma}\)，且 \(\abs{\vb*{r}}^2 = \abs{\vb*{r}'}^2\)
因此 \(\vb*{r}'\) 可以看做 \(\vb*{r}\) 通过一正交变换而得，即 \(r'_i = \sum_{j = 1}^{3} R_{ij}(u) r_j, \ R(u) \in O(3)\)
另一方面，利用迹和 Pauli 矩阵的性质有
\[r'_i = \sum_j \delta r'_j = \sum_j \frac{1}{2} \Tr(\sigma_i \sigma_j) r'_j = \frac{1}{2} \Tr[\sigma_i \sum_j \sigma_j r'_j] = \frac{1}{2} \Tr[\sigma_i u (\vb*{r} \vdot \vb*{\sigma}) u^\dagger] = \frac{1}{2} \sum_j \Tr(\sigma_i u \sigma_j u^\dagger) r_j\]故 $R_{ij} (u) = \Tr(\sigma_i u \sigma_j u^\dagger)$，可以发现 $(a, b) = (1, 0)$ 时 $R(u)$ 是单位矩阵，而所有 $R(u)$ 都随着 $u$ 的参量 $(a, b)$ 连续变化，则其行列式不可能突然跳转，所以 $\det{R(u)} = 1$，即 $R(u) \in SO(3)$
易知群乘法成立，综上所述，$SU(2)$ 群同态于 $SO(3)$
欧拉角表示
\(u_1(\alpha) = \mqty[ \ee^{-\ii \alpha /2} & 0 \\ 0 & \ee^{\ii \alpha /2} ]\) 则 \(R_1(\alpha) = \mqty[ \cos{\alpha} & - \sin{\alpha} & 0 \\ \sin{\alpha} & \cos{\alpha} & 0 \\ 0 & 0 & 1]\)
\(u_2(\beta) = \mqty[ \cos(\beta / 2) & -\sin(\beta / 2) \\ \sin(\beta / 2) & \cos(\beta / 2) ]\) 则 \(R_2(\beta) = \mqty[ \cos{\beta} & 0 & \sin{\beta} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin{\beta} & 0 & \cos{\beta}]\)
欧拉角表示的正当转动 $R(\alpha, \beta, \gamma) = R(z, \alpha) R(y, \beta) R(z, \gamma)$，对应于
\[u(\alpha, \beta, \gamma) = u_1(\alpha) u_2(\beta) u_1(\gamma) = \mqty[\ee^{-\ii \frac{\alpha + \gamma}{2}} \cos{\frac{\beta}{2}} & - \ee^{-\ii \frac{\alpha - \gamma}{2}} \sin{\frac{\beta}{2}} \\ \ee^{\ii \frac{\alpha - \gamma}{2}} \sin{\frac{\beta}{2}} & \ee^{\ii \frac{\alpha + \gamma}{2}} \cos{\frac{\beta}{2}}]\]二重覆盖
对正当转动 $R(z, \alpha) = R(z, \alpha + 2 \pi)$，$u_1(\alpha + 2\pi) = - u_1(\alpha)$，这说明 $SU(2)$ 中群元 $u(\alpha, \beta, \gamma)$ 和 $u(\alpha + 2\pi, \beta, \gamma)$ 都对应 $SO(3)$ 中的 $R(\alpha, \beta, \gamma)$，说明这是一个二重覆盖的同态
不可约表示
$SU(2)$ 群的不可约表示
$SU(2)$ 群的矩阵形式，二维幺模幺正矩阵就是一个二维的忠实表示，其它表示可由下列 $2j + 1$ 个 $u$ 和 $v$ 的 $2j$ 次对称乘积的变换给出：
\[f^j_m (u, v) = \frac{u^{j+m} v^{j-m}}{\sqrt{(j+m)! (j-m)!}}, \quad m = -j, -j+1, \cdots, j-1, j, \quad j = \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \cdots\]此即为 $(2j+1)$ 维表示的基函数，当 $(u,v)$ 按照二维幺模幺正矩阵变换时，$f^j_m (u, v)$ 也相应变换为 \(\sum_{m'=-j}^{j} D^{(j)}_{m m'}(a, b) f^{j}_{m'}(u, v)\)，其中第 $j$ 个表示矩阵的矩阵元为：
\[D^{(j)}_{m m'}(a, b) = \sum_{k=0}^{j+m} \frac{\sqrt{(j+m)! (j-m)! (j+m')! (j-m')!}}{k! (j+m-k)! (j-m'-k)! (m' - m + k)!} a^{j+m-k} (a^*)^{j-m'-k} b^k (-b^*)^{m'-m+k}\]可证明这是幺正表示，且是 $SU(2)$ 唯一的 $(2j+1)$ 维不可约表示
$SU(2)$ 群表示的特征标
考虑二维幺模幺正矩阵的本征值 \(\lambda_1 = \frac{\beta + \ \sqrt{\beta^2 -4}}{2}, \ \lambda_2 = \frac{\beta - \ \sqrt{\beta^2 -4}}{2}, \ \beta = a + a^*\)，可以发现本征值只取决于 $\Re{a}$，故所有有相同 $\Re{a}$ 的群元是彼此共轭的
定义 $\cos{\frac{\alpha}{2}} = \frac{\beta}{2}, \ \sin{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{1 - \frac{\beta^2}{4}}$，则特征值可表示为 $\lambda_1 = \exp(\ii \frac{\alpha}{2}), \ \lambda_2 = \exp(-\ii \frac{\alpha}{2})$
$\alpha$ 或者 $\beta$ 或者 $\Re{a}$ 都可以确定一个类，同类特征标相同，故可取对角矩阵 \(a = \exp(\ii \frac{\alpha}{2}), \ b = 0\)，则特征标为
\[\chi^{(j)} (\ee^{\ii \frac{\alpha}{2}}, 0) = \sum_{m = -j}^{j} \ee^{\ii m \alpha} = \frac{\sin(j+\frac{1}{2}) \alpha}{\sin(\frac{\alpha}{2})}, \quad j = \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \cdots\]$SO(3)$ 群的不可约双值表示
当 $j$ 是整数时，\(D^{(j)}_{m m'}(\alpha, \beta, \gamma) = D^{(j)}_{m m'}(a, b) = D^{(j)}_{m m'}(-a, -b)\)，给出 $SO(3)$ 群的单值表示
当 $j$ 是半整数时，\(D^{(j)}_{m m'}(\alpha, \beta, \gamma) = D^{(j)}_{m m'}(a, b) = -D^{(j)}_{m m'}(-a, -b)\)，若用 $D^{(j)}(a, b)$ 和 $D^{(j)}(-a, -b)$ 表示一个 $SO(3)$ 群元 $A(g)$，则 $A(g_1) A(g_2) = \pm A(g_1 g_2)$，这给出 $SO(3)$ 群的双值表示
不知道为什么讲义上没有这句话：
球谐函数 $Y_l^m (\theta, \phi)$ 可以作为 $SO(3)$ 群的不可约表示的基函数，但这只能求出奇数维表示
点群及其应用
哈密顿算符的群
使得哈密顿算符不变的所有变换在乘法意义为先后变换下构成群，称为哈密顿算符的群，或称薛定谔方程的群
群与哈密顿量的关系
在 $H$ 的态空间构造的群表示
- 若群不可约，则 $H$ 是常数矩阵，只有一个简并能级
- 若群可约，可以做不可约表示的直和分解，在此表示基矢下：
- 若所有不可约表示互不等价，则 $H$ 为对角形式
- 对应每一个不可约表示，本征矢必然简并
- 对应不同的不可约表示，可能有偶然简并
- 若直和分解的不可约表示中有等价表示，则 $H$ 为准对角形式
- 若所有不可约表示互不等价，则 $H$ 为对角形式
这章大概不考，下略
例子
作业题中的解题方法
求不可约表示
- 设基函数，$n$ 维表示就要 $n$ 个基函数
- 以群元对自变量做变换，$n$ 个基函数跟着变（群元的投影算符作用于基函数上）
- 变换后的 $n$ 个函数写成 $n$ 个基函数的线性组合的形式，系数就是表示的矩阵元
求基函数
- 先求出特征标表
- 计算特征标投影算符 \(P = \frac{l}{g} \sum_{R \in G} \chi^3(R)^* P_{R}\) 作用于某个选定函数上
- 看形式取基函数
求特征标表
- 先确认群中类的数量，即不可约表示个数
- 列表格，第一个不可约表示就是一维恒等表示，全填上1即可
- 利用 Burnside 定理 计算出其它表示的维数，注意单位元的特征标就是维数
- 利用特征标正交性关系式 $\eqref{math:1}$、第二正交性关系式 $\eqref{math:2}$ 列方程解出其它特征标即可
求晶体可能的张量形式
- 看看晶体的对称性，找个晶体群
- 张量按群元变换后为自身，即可解出张量形式
- 特例：二阶三维张量（即矩阵）满足 \(\varepsilon = R \varepsilon R^{-1}\)
考试题
2022~2023 第一学期《群论导论》课程期末题
- 商群是什么？其存在条件？
- 群的线性表示是什么？
- 如何判断可约表示？
- 晶体点群共多少个？
- $SO(3)$ 中的群元 $R$ 和 $SU(2)$ 中的群元 $u$ 有什么关系？
- $SO(3)$ 群的双值表示是什么？
- 元素 \(\{e,a,b,c\}\) 可以组合出多少个群，写出其群乘法表，并说明它们是否是交换群
- 求三阶群的所有不可约不等价表示
特别注意：特征标正交性关系中的乘积（特征标矢量内积）前者要取复共轭的！
补充内容
以下内容选自研究生课程《群论Ⅰ》，我会在这里补充一下和上面不重复的部分，课程讲义就是参考书2。
群表示理论
可约表示
设 $A$ 是群 $G$ 在表示空间 $V$ 上的一个表示，如果 $V$ 存在一个 $G$ 不变的真子空间 $W$，则称 $A$ 是可约表示。这里 $G$ 不变的真子空间 $W$，是指 \(\forall \vb*{y} \in W\)，对于 \(\forall g_{\alpha} \in G\)，有 $A(g_{\alpha}) \vb*{y} \in W$。
更进一步，我们把 $G$ 的表示空间 $V$ 分解为 $W$ 和 $W’$ 的直和，如果 $W$ 和 $W’$ 都是 $G$ 不变的，则称 $V$ 这个表示空间完全可约。
注意这个表述与前文中的表述其实是等价的，即完全可约是准块对角形式，而可约是上块对角形式。
诱导表示
对于群 $G$ 的子群 $H$，它有一个群表示 $B$，对群 $G$ 作关于 $H$ 的陪集分解 $G = g_1 H + g_2 H + \cdots g_l H$，则诱导表示可定义为：
\[U(g) = \mqty[ \dot{B}(g_1 g g_1^{-1}) & \dot{B}(g_1 g g_2^{-1}) & \cdots & \dot{B}(g_1 g g_l^{-1}) \\ \dot{B}(g_2 g g_1^{-1}) & \dot{B}(g_2 g g_2^{-1}) & \cdots & \dot{B}(g_2 g g_l^{-1}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dot{B}(g_l g g_1^{-1}) & \dot{B}(g_l g g_2^{-1}) & \cdots & \dot{B}(g_l g g_l^{-1}) \\ ]\]其中：
\[\dot{B}(g_m g g_j^{-1}) = \begin{cases} B(g_m g g_j^{-1}) , \quad g_m g g_j^{-1} \in H \\ 0, \quad \text{otherwise} \end{cases}\]$A$ 是群 $G$ 的一个表示，显然对于群 $G$ 的子群 $H$，$A$ 也是它的一个表示，我们称为群 $G$ 的表示 $A$ 到其子群 $H$ 的缩小，记为 $A\lvert_H$。
- Frobenius 定理
- $G$ 的不可约表示 $A$ 在由 $H$ 的不可约表示 $B$ 所诱导出 来的 $G$ 的表示 $U$ 中的重复度，等于 $H$ 的不可约表示 $B$ 本身在 $G$ 的不可约表示 $A$ 对 $H$ 的缩小中的重复度。换句话说，特征标内积关系为 $\obraket{\chi^{A}}{\chi^{U}} = \obraket{\chi^{B}}{\chi^{A \lvert_H}}$。
点群与空间群
定义转动反射面 \(S_{\vb*{k}}(2 \pi / n) = \sigma_{\vb*{k}} C_{\vb*{k}}(2 \pi / n)\)，和转动反演轴有关系式：\(\sigma_{\vb*{k}} C_{\vb*{k}}(2 \pi / n) = I C_{\vb*{k}}(2 \pi / n + \pi)\)，再补一个对转轴的转动：当 $O \in \mathrm{SO}(3)$ 时，有 \(O C_{\vb*{k}}(\theta) O^{-1} = C_{O \vb*{k}} (\theta)\)。
- 第一类点群：$C_n$、$D_n$、$T$、$O$、$Y$（二十面体群）
- 第二类点群
- 含中心反演对称性
- $C_n \cup I C_n$：取奇数 $2n+1$ 时为 $S_{4n+2}$，取偶数 $2n$ 时为 $C_{2n \ h}$
- $D_n \cup I D_n$：取奇数 $2n+1$ 时为 $D_{2n+1 \ d}$，取偶数 $2n$ 时为 $D_{2n \ h}$
- $T \cup I T = T_h$
- $O \cup I O = O_h$
- $Y \cup I Y = Y_h$
- 不含中心反演对称性
- 与 $C_{2n}$ 同构：取奇数 $4n+2$ 时为 $C_{2n+1 \ h} = C_{2n+1} \cup I (C_{4n+2} - C_{2n+1})$，取偶数 $4n$ 时为 $S_{4n} = C_{2n} \cup I (C_{4n} - C_{2n})$
- 与 $D_{n}$ 同构：$C_{nv} = C_n \cup I (D_n - C_n)$
- 与 $D_{2n}$ 同构：取奇数 $4n+2$ 时为 $D_{2n+1 \ h}= D_{2n+1} \cup I (D_{4n+2} - D_{2n+1})$，取偶数 $4n$ 时为 $D_{2n \ d} = D_{2n} \cup I (D_{4n} - D_{2n})$
- 与 $O$ 同构：$T_d = T \cup I (O - T)$
- 含中心反演对称性
记号上来讲，$h$ 是指有垂直最高次转动轴的镜面反射 $\sigma_h = IC_2$ 元素（就是水平面反射）；$v$ 是指有垂直水平面的反射面 $\sigma_v$ 元素；$d$ 是在 $v$ 的基础上，要求这个反射面平分水平面上的两个二次轴的夹角。
群论与量子力学
- 投影算符
- 线性空间 $V$ 上的线性算符 $\hat{P}$，若满足 $\hat{P}^2 = \hat{P}$，则称 $\hat{P}$ 是 $V$ 上的一个投影算符。
若线性空间 $V = W_1 \oplus W_2 \oplus \cdots \oplus W_k$，则 $V$ 上存在投影算符 ${\hat{P}_k}$ 满足：
- $\hat{P}_i^2 = \hat{P}_i$
- $\hat{P}_i \hat{P}_j = 0 \quad (i \neq j)$
- $\hat{P}_1 + \hat{P}_2 + \cdots + \hat{P}_k = E$
- $\hat{P}_i V = W_i$
同时，反之若满足上述四个条件，则线性空间可以被这样直和分解。
设群 $G$ 的不可约幺正表示为 $A^{(\alpha)}$，其中 $\alpha = 1, 2, \cdots, q$，表示维数为 $s_\alpha$。$P_G$ 为 $G$ 对应的算符群，\(P_G = \{\hat{P}_g \lvert g \in G\}\)。定义算符 \(\hat{P}_{kj}^{(\alpha)} = \frac{s_\alpha}{n} \sum_{g \in G} A^{(\alpha) *}_{kj} (g) \hat{P}_g\)，则这些算符满足关系 \(\hat{P}_{kj}^{(\alpha)} \hat{P}_{il}^{(\beta)} = \delta_{\alpha\beta} \delta_{ij} \hat{P}_{kl}^{(\alpha)}\)，且 $\hat{P}_{jj}^{(\alpha)}$ 为投影算符。
进一步可定义特征标投影算符 $\hat{P}^{(\alpha)} = \sum_{j=1}^{s_\alpha} \hat{P}_{jj}^{(\alpha)}$，即 \(\hat{P}^{(\alpha)} = \frac{s_\alpha}{n} \sum_{g \in G} \chi^{(\alpha) *} (g) \hat{P}_g\)。它满足完备性关系 \(\sum_{\alpha = 1}^q \hat{P}^{(\alpha)} = \hat{P}_e\)，$\hat{P}_e$ 为恒等算符。
有限群不可约幺正表示基函数定理：
- 对群 $G$ 的函数作用算符群 $P_G$ 定义算符 \(\hat{P}_{ij}^{(\alpha)}\)，对一组基函数 ${ \varphi_i^{(\alpha)} }$，其中 $i = 1, 2, \cdots, s_{\alpha}$，这组基函数构成群 $G$ 的第 $\alpha$ 个不可约幺正表示基函数的充要条件为：\(\hat{P}_{ij}^{(\alpha)} \varphi_j^{(\alpha)} = \varphi_i^{(\alpha)}\)，这里 $\varphi_i^{(\alpha)}$ 称为对称化基函数。
- 有限群不等价、不可约幺正表示的基函数 ${ \varphi_i^{(\alpha)} }$，其中 $i = 1, \cdots, s_\alpha$ 且 $\alpha = 1, \cdots q$，满足如下正交关系：\(\obraket{\varphi_i^{(\alpha)}}{\varphi_j^{(\beta)}} = \delta_{ij} \delta_{\alpha \beta} f^{(\alpha)}\)，其中 $f^{(\alpha)}$ 与 $i$、$j$ 无关。
置换群
将 $n$ 个数字的排列 ${1, 2, \cdots, n}$ 的排列 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 映射为排列 $b_1, b_2, \cdots, b_n$ 的操作，称为一个 $n$ 阶置换，记为： \(s = \mqty( a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ b_1 & b_2 & \cdots & b_n )\)
- 置换群
- 定义两个置换 $r$、$s$ 的乘积 $rs$ 为先执行置换 $s$，再执行置换 $r$，则在此乘法规则下所有的 $n$ 阶置换的集合构成一个群，这个群就称为 $n$ 阶置换群或 $n$ 阶对称群，记为 $S_n$。
- 轮换
- 一种特殊的置换 \(\mqty(a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_2 & a_3 & \cdots & a_1)\) 称为轮换，记为 \(\mqty(a_1 & a_2 & \cdots & a_n)\)，轮换数码的个数 $n$ 称为轮换的阶。
- 对换
- 二阶轮换 \(\mqty(a_1 & a_2)\) 称为对换。
轮换的性质：
- 两个轮换之间没有公共数码，则称它们相互独立，相互独立的轮换之间的乘法满足交换律。
- 任意的 $n$ 阶置换总可以分解为相互独立的轮换的乘积。
- 轮换的逆就是反过来，即 \(\mqty(a_1 & a_2 & \cdots & a_n)^{-1} = \mqty(a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1)\)。
- 任意一个 $m$ 阶轮换都可以写成 $m − 1$ 个对换的乘积。
具有相同轮换结构的置换构成置换群 $S_n$ 的一个类。相同的轮换结构这样的规定有两个意思，既指它们有相同个数的轮换因子，又指各轮换因子中数码个数也完全相同。
可以由轮换分解来划分置换群的类别，这个轮换分解我们标记为 \((\gamma) = (1^{\gamma_1}, 2^{\gamma_2}, \cdots, n^{\gamma_n})\)，即该类中有 $\gamma_1$ 个一阶轮换，$\gamma_2$ 个二阶轮换，以此类推有 $\gamma_n$ 个 $n$ 阶轮换。对个数要求 $\gamma_1 + 2 \gamma_2 + \cdots + n \gamma_n = n$，这里的 $\gamma_i$ 为非负整数。
定义杨图（Young Diagram），它的标记方式是 $[\lambda] = [\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n]$，称为配分数，其中 $\lambda_i = \sum_{j = i}^{n} \gamma_j$（即后缀和），同样有求和关系 $\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = n$，注意它们是不下降序列。
这样的话 $S_n$ 的分类就可以用杨图来表示了。它就是 $n$ 个小方格，排列方式为第一行到第 $n$ 行分别是 $\lambda_1$ 到 $\lambda_n$ 个小方格，它们的第一列靠左对齐。显然，有多少个杨图，这个置换群就有多少个类。
进一步，定义杨盘（杨表 Young Tableau）：将数字 $1$ 到 $n$ 分别填到 $S_n$ 的杨图的 $n$ 个小方格中，得到的就是杨盘（填完了数的杨图）。如果是从左到右、从上到下按数字增加的方式来填充的杨盘则成为标准杨盘。
由一个杨盘 $T$ 可以定义行置换 $R(T)$ 与列置换 $C(T)$。$R(T)$ 是保持杨盘 $T$ 的各行中的数字还在其相对行上的所有置换 $\hat{p}$ 的集合 ${\hat{p}}$；$C(T)$ 是保持杨盘 $T$ 的各列中的数字还在其相对列上的所有置换 $\hat{q}$ 的集合 ${\hat{q}}$。
进一步由行、列置换可以定义两个算符 \(\hat{P}(T) = \sum_{\hat{p} \in R(T)} \hat{p}\) 和 \(\hat{Q}(T) = \sum_{\hat{q} \in C(T)} \delta_q \hat{q}\)，这里 $\delta_q = 1$ 如果 $\hat{q}$ 为偶置换，$\delta_q = -1$ 如果 $\hat{q}$ 为奇置换。这里偶置换与奇置换指的是在置换本身化为对换的乘积后，对换的个数是偶数个还是奇数个。
- 杨算符
- 它是杨盘 $T$ 的算符 $\hat{P}(T)$ 与 $\hat{Q}(T)$ 的乘积，形式为：\(\hat{E}(T) = \hat{P}(T) \hat{Q}(T) = \sum_{\hat{p} \in R(T)} \sum_{\hat{q} \in C(T)} \delta_q \hat{p} \hat{q}\)。显然杨算符是群空间 $R_{S_n}$ 中的一个矢量。一个杨盘对应一个杨算符。
杨盘定理：
- 杨盘 $T$ 的杨算符 $\hat{E}(T)$ 可给出置换群群空间 $R_{S_n}$ 中的一个本原幂等元 $\hat{E}(T)/\theta$，其中 $\theta$ 为一个常数。也就是说一个杨盘给出置换群在其群空间 $R_{S_n}$ 中的一个不可约表示。
- 同一个杨图的不同杨盘给出的不可约表示相互等价。
- 不同杨图的杨盘给出的不可约表示不等价。
杨图 $[\lambda]$ 对应的不可约表示的维度，等于其标准盘的个数。
补一个计算技巧：只有一个公共元的两个轮换可以连接，即 \(\mqty(a & b & c & d) \mqty(d & e & f) = \mqty(a & b & c & d & e & f)\)，注意等号意味着同样也可以用这个式子来拆解。
略去李群、李代数部分，因为要从拓扑、流形开始抄，不想干了。
补充例子
定理：一个群元的同类的个数乘上与这个群元对易的群元个数，等于群的阶。
红外和拉曼峰在同样的位置出现，则晶体内没有空间反演对称性。
$D_3$ 群
$D_3$ 群是一个非常常见常考的群，其本质定义是对于平面上一个正三角形，使其形状不变的六种操作组成的群，包括单位元 $e$，两个三度轴的 \(120^{\circ}\) 转动操作 $d$ 和 $f$，以及三个在水平面上的二度轴转动 $a$、$b$ 和 $c$。
$D_3$ 群的类：\(\{e\}\)、\(\{d, f\}\)、\(\{a, b, c\}\)。
乘法表背起来麻烦，但是除了从头画图推导，我们有一些别的技巧来记忆。两个三度轴的转动相乘是简单的，毕竟正规子群 \(\{e, d, f\}\) 是三阶循环群，所以 $dd = f$ 并且 $ff = d$。三个二度轴的转动互相乘满足一个规律：不同的两个二度轴转动相乘，按照轮换顺序 $(a, b, c)$ 的可以得到 $d$，逆着轮换顺序得到的是 $f$。也就是说，$ab = d$、$ba = f$、$bc = d$、$ca = d$……另外显然两个相同的二度轴转动相乘就是单位元。对于普遍情况，我们只需要将 $d$ 和 $f$ 拆成两个二度轴转动相乘，再利用相同二度轴转动抵消的原理，就可以简化计算了。
$D_3$ 群的诱导表示
此群有三个类，根据 Burnside 定理可知 $1^2 + 1^2 + 2^2 = 6$，故有三个不等价不可约表示，其中两个是一维表示，一个是二维表示。
这里用诱导表示求二维不可约表示，已知三阶循环群 \(\{e, d, f\}\) 的一维表示 \(\{1, \omega, \omega^2\}\)，其中 $\omega = \exp(2 \pi \ii / 3)$。陪集分解 \(D_3 = e \{e, d, f\} + a \{e, d, f\}\)，故可求出二维表示：
\[A(d) = \mqty[ \dot{B}(e d e^{-1}) & \dot{B}(e d a^{-1}) \\ \dot{B}(a d e^{-1}) & \dot{B}(a d a^{-1}) ] = \mqty [ \dot{B}(d) & \dot{B}(c) \\ \dot{B}(b) & \dot{B}(f) ] = \mqty [ \omega & 0 \\ 0 & \omega^2 ]\]这里只举一个群元的例子，其余类似。可以通过特征标内积验证这是一个不可约表示。
基函数求群表示
还是以 $D_3$ 群为例子，先给出所有群元作用到三维实空间向量 \(\vb*{r}\) 上的效果：
\[\begin{aligned} & A(e) = I_3, \ A(d) = \mqty[ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 ], \ A(f) = [A(d)]^{T}, \\ & A(a) = \mqty[\dmat{1, -1, -1}], \ A(b) = \mqty[ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -1 ], \ A(c) = \mqty[ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -1 ], \end{aligned}\]如果知道三维实转动 \(C_{\vu*{z}}(\theta)\) 的矩阵表示，那么 $d$ 和 $f$ 三维矩阵表示是易知的，另外只需要记得 $a$ 是以 $x$ 轴为二次轴的转动就行了，剩下两个可以用乘法表推导。
举个例子，取二次齐次函数空间 \(\Psi^{(i)}(\vb*{r}) = \{x^2, y^2, z^2, xy, yz, xz\}\)，以第一个基函数为例子有 \(A(f) \Psi^{(1)}(\vb*{r}) = \Psi^{(1)}(f^{-1} \vb*{r}) = \Psi^{(1)}(d \vb*{r}) = \frac{1}{4} x^2 + \frac{3}{4} y^2 + \frac{\sqrt{3}}{2} xy\)，故展开系数为 $\frac{1}{4}$、$\frac{3}{4}$、$0$、$\frac{\sqrt{3}}{2}$、$0$ 和 $0$，所以 $f$ 的六维表示矩阵的第一列就是这些系数。
线性空间承载的群表示
以 $D_3 \cong C_{3v}$ 为例子，约化 $z$、$xy$、$x^2$ 和 $y^2$ 形成的线性空间为群的不变子空间的直和。
写出三个不可约表示对应的特征标投影算符：
\[\begin{aligned} \hat{P}^{1} &= \frac{1}{6} \qty(\hat{P}_{e} + \hat{P}_{d} + \hat{P}_{f} + \hat{P}_{a} + \hat{P}_{b} + \hat{P}_{c}) \ , \\ \hat{P}^{2} &= \frac{1}{6} \qty(\hat{P}_{e} + \hat{P}_{d} + \hat{P}_{f} - \hat{P}_{a} - \hat{P}_{b} - \hat{P}_{c}) \ , \\ \hat{P}^{3} &= \frac{2}{6} \qty(2 \hat{P}_{e} - \hat{P}_{d} - \hat{P}_{f}) \end{aligned}\]然后用上面的三维矩阵表示，将它们作用到四个基函数上，举个例子 \(\hat{P}^{1} x^2 = \frac{1}{2} (x^2 + y^2)\)，最后可以发现 $z$ 和 $\frac{1}{2} (x^2 + y^2)$ 承载一维表示 $A^{1}$，$xy$ 和 $\frac{1}{2} (x^2 - y^2)$ 共同承载了二维表示 $A^{3}$，空间可以约化为 \(\{z\} \oplus \{\frac{1}{2} (x^2 + y^2)\} \oplus \{xy, \frac{1}{2} (x^2 - y^2)\}\)。
若只给了 $xy$，发现只有 $P^3$ 作用上去是非零的，但是 $P^3$ 对应的表示 $A^3$ 是二维表示，只有一个基函数是不够的。此时需要使用 $P_d$ 作用得到 $P_d (xy) = \frac{\sqrt{3}}{4} (x^2 - y^2) - \frac{1}{2} xy$，正交归一化得到第二个基函数 $\frac{1}{2}(x^2 - y^2)$。
三阶置换群的杨图
懒得上传图片了，这里长得像行列式的 \(\mdet{\cdot}\) 就是杨图了，请自己想象是一个个小方格，就是有所有的边框线的那种。
三阶置换群 $S_3$ 共有四个标准盘：杨图 $[3]$ 的标准盘是 \(\mdet{1 & 2 & 3}\)；杨图 $[2, 1]$ 的标准盘有两个，即 \(\mdet{1 & 2 \\ 3 & \ }\) 和 \(\mdet{1 & 3 \\ 2 & \ }\)；杨图 $[1^3]$ 的标准盘是 \(\mdet{1 \\ 2 \\ 3}\)。
这说明这个置换群有三个类，也就是有三个不可约表示，维数分别是 1、2、1，当然这很显然，毕竟这个群同构于 $D_3$ 群。
举例，以 \(\mdet{1 & 2 \\ 3 & \ }\) 为例子，它的行置换为 \(R(T) = \{(1), (1, 2)\}\)，列置换为 \(C(T) = \{(1), (1, 3)\}\)（注意 \((1) = E\) 就是单位元）。所以杨算符为
\[\hat{E}(T) = \qty{(1) + (1, 2)} \qty{(1) - (1, 3)} = (1) + (1, 2) - (1, 3) - (1, 3, 2)\]将杨算符作用于所有三阶置换群群元，可发现此二维群空间的基为 \(\hat{E}(T)\) 和 \((1, 3)\hat{E}(T)\)，然后就可以求不可约表示矩阵了。