呃，科训的一些 note，应该是用不到了，参考了好几篇奇奇怪怪论文，有些地方不一定对（
简单说说思路，我们的目标是在量子系统中模拟弯曲时空：匀速动边界问题下会有个类似 Rindler 变换的玩意，首先试图跟 Unruh 效应扯上联系，弄了弄感觉不对；接着发现了动态 Casimir 效应（DCE），这里面倒是真有粒子数变化，于是想要联系到量子系统中；正好有一篇利用 BEC 来模拟弯曲时空的，想改一改套上去，发现说不定可以，但是啊……实验上量子模拟 DCE 早就有别的方案了，什么变密度之类的，用动边界来实现有点傻好吧，于是乎看样子这思路就到这了
1+1 维时空中 Klein-Gordon 方程动边界问题
在一个时间与一维空间构成的的时空中，放有一个长度会随时间匀速变大的盒子，考虑其中的 Klein-Gordon 粒子的演化问题。
为了方便起见，设定盒子的左边界在原点处，并令 $\hbar = c = 1$，则问题的数学表达形式为： \(\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &\pdv[2]{\Psi(t, x)}{t} - \pdv[2]{\Psi(t, x)}{x} = 0 \\ &\Psi(t, 0) = \Psi(t, L(t)) = 0 \\ &\Psi(0, x) = f(x),\quad \pdv{\Psi(0, x)}{t} = g(x) \\ &L(t) = \beta t \end{aligned} \right. \label{math:0} \end{equation}\)
其中，常数 $\beta$ 为边界匀速扩张速度，显然有取值要求 $0 < \beta < 1$。
坐标变换
动边界在问题的求解十分棘手，需要将其转化为静边界，考虑坐标变换： \(\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} t &= \ee^{\tilde{\rho}} \cosh\tilde{\nu} \\ x &= \ee^{\tilde{\rho}} \sinh\tilde{\nu} \end{aligned} \right. \end{equation}\) 问题中的边界条件将转化为： \(\begin{equation} \Psi(\tilde{\rho}, 0) = \Psi(\tilde{\rho}, \tanh[-1]{\beta}) = 0 \end{equation}\)
对于 1+1 维时空区域 $0 < t < +\infty,\ t>\abs{x}$ ，即未来光锥内，新坐标的取值范围为 $-\infty < \tilde{\rho} <+\infty,\ -\infty < \tilde{\nu} < +\infty$ 。由坐标变换可知两坐标系下时空图中另一坐标系的形状，由等值线描述（没有图）。
在 1+1 维Minkowski时空中，度规张量表示的线元为： \(\begin{equation} \dd s^2 = \dd t^2 - \dd x^2 \end{equation}\) 坐标变换的全微分关系为： \(\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \dd t &= t \dd{\tilde{\rho}} + x \dd{\tilde{\nu}} \\ \dd x &= x \dd{\tilde{\rho}} + t \dd{\tilde{\nu}} \end{aligned} \right. \end{equation}\) 故可以计算出新坐标所定义的时空下的度规张量表示的线元为： \(\begin{equation} \dd{s^2} = \ee^{2 \tilde{\rho}} \qty(\dd{\tilde{\rho}^{2}} - \dd{\tilde{\nu}^2}) \end{equation}\) 可以看出，新坐标定义的时空与 Minkowski 时空是共形不变的，于是新坐标是共形坐标。
考虑式 \eqref{math:0} 所代表的问题，此时在新坐标里的表达形式为： \(\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &\pdv[2]{\Psi(\tilde{\rho}, \tilde{\nu})}{\tilde{\rho}} - \pdv[2]{\Psi(\tilde{\rho},\tilde{\nu})}{\tilde{\nu}} = 0 \\ &\Psi(\tilde{\rho}, 0) = \Psi(\tilde{\rho}, \tanh[-1]{\beta}) = 0 \\ &\text{Initial conditions...} \end{aligned} \right. \end{equation}\) 利用分离变量法可以得到满足边界条件的本征函数系： \(\begin{equation} \Psi_n(\tilde{\rho}, \tilde{\nu}) = \frac{1}{\sqrt{n \pi}} \sin(k_n \tilde{\nu}) \ee^{- \ii k_n \tilde{\rho}}, \quad k_n = \frac{n \pi}{\tanh[-1]{\beta}} \end{equation}\) 其中，$n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$，可以验证这个解系满足正交归一条件，使用坐标变换变回 $(t, x)$ 时，因共形变，仍满足 Minkowski 时空下的正交归一条件，即： \(\begin{equation} \braket{\Psi_n}{\Psi_m} = \ii \int \dd{x} \qty(\Psi_n^{*} \pdv{\Psi_m}{t} - \Psi_m \pdv{\Psi_n^{*}}{t}) = \delta_{nm} \end{equation}\)
正则量子化
无质量标量场 $\phi(t,x)$ 的作用量为： \(\begin{equation} S[\phi] = \frac{1}{2} \int g^{\alpha \beta} \phi_{,\alpha} \phi_{,\beta} \sqrt{-g} \dd[2]{x} \label{math:1} \end{equation}\) 式中，$x^{\mu} \equiv (t, x)$ 为二维坐标，$g^{\alpha \beta}$ 为度规张量分量，$\phi_{,\alpha} \equiv \pdv{\phi}{x^{\alpha}}$ 为偏微分简记。
在 1+1 维时空下，作用量 $\eqref{math:1}$ 是共形不变的，则对于 Minkowski 坐标和共形坐标来说，作用量有相同形式，对于坐标 $(t, x)$ 有： \(\begin{equation} S[\phi] = \frac{1}{2} \int \qty[\qty(\pdv{\phi}{t})^2 - \qty(\pdv{\phi}{x})^2] \dd t \dd x \end{equation}\) 对于坐标 $(\tilde{\rho}, \tilde{\nu})$ 有： \(\begin{equation} S[\phi] = \frac{1}{2} \int \qty[\qty(\pdv{\phi}{\tilde{\rho}})^2 - \qty(\pdv{\phi}{\tilde{\nu}})^2] \dd{\tilde{\rho}} \dd{\tilde{\nu}} \end{equation}\)
故二者可以得到形式一样的运动方程： \(\begin{equation} \pdv[2]{\phi}{t} - \pdv[2]{\phi}{x} = 0; \quad \pdv[2]{\phi}{\tilde{\rho}} - \pdv[2]{\phi}{\tilde{\nu}} = 0 \end{equation}\) 且通解有如下形式： \(\begin{equation} \phi(t, x) = A(t - x) + B(t + x); \quad \phi(\tilde{\rho}, \tilde{\nu}) = P(\tilde{\rho} -\tilde{\nu}) + Q(\tilde{\rho} + \tilde{\nu}) \end{equation}\) 式中，$A$、$B$、$P$ 和 $Q$ 为任意光滑函数。
考虑边界条件： \(\begin{equation} \eval{\phi(t, x)}_{x=0} = \eval{\phi(\tilde{\rho}, \tilde{\nu})}_{\tilde{\nu}=0} = 0, \quad \eval{\phi(t, x)}_{x=\beta t} = \eval{\phi(\tilde{\rho}, \tilde{\nu})}_{\tilde{\nu}=\arctanh\beta} = 0 \end{equation}\) 共形时空下的场 $\phi(\tilde{\rho}, \tilde{\nu})$ 的通解为： \(\begin{equation} \phi(\tilde{\rho}, \tilde{\nu}) = \sum_{n = 1}^{\infty} \qty(A_n \ee^{-\ii \Omega_n \tilde{\rho}} + B_n \ee^{\ii \Omega_n \tilde{\rho}}) \sin(\Omega_n \tilde{\nu}), \quad \Omega_n =\frac{n \pi}{\arctanh \beta} \end{equation}\) 使用模式展开，则场被正则量子化为： \(\begin{equation} \hat{\phi}(\tilde{\rho}, \tilde{\nu}) = \sqrt{\frac{2}{\arctanh \beta}} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sin(\Omega_n \tilde{\nu})}{\sqrt{2 \Omega_n}} \qty(\hat{b}_n \ee^{-\ii\Omega_n \tilde{\rho}} + \hat{b}_n^\dagger \ee^{\ii \Omega_n \tilde{\rho}}) \end{equation}\) 式中，\(\hat{b}_n\) 和 \(\hat{b}_n^{\dagger}\) 为 b 粒子湮灭和产生算符，有对易关系 \(\comm*{\hat{b}_m}{\hat{b}_n^\dagger}= \delta_{mn}\)，可以定义共形空间下的真空态 $\ket{0_{b}}$ 为： \(\begin{equation} \hat{b_n} \ket{0_b} = 0 \quad (n = 1, 2, 3, \cdots) \end{equation}\)
后面本来是想考虑怎么连接一个静边界的场的，但是总觉得不太对，那不就成动态 Casimir 效应了啊
BEC 声学度规
$3+1$ 维 BEC 在 $z$ 方向被抑制，则有 \(\psi(t, \vb*{r}) = \Phi(t, r, \phi) \zeta(z)\)，其中 $\zeta(z)$ 为高斯分布，场作用量有 \(\begin{equation} \Gamma[\Phi] = \int \dd{t} \dd[2]{r} \qty{\ii \hbar \Phi^* (\partial_t + \ii A_0) \Phi - \frac{\hbar^2}{2m} (\nabla - \ii \vb*{A}) \Phi^* (\nabla + \ii \vb*{A})\Phi - \frac{\lambda}{2} (\Phi^* \Phi)^2} \label{math:3.1} \end{equation}\) 其中 $m$ 是原子质量，$\lambda$ 是时间相关的耦合系数，可以在 Born 近似下与 s 波散射长度 $a_{s}$ 相关： \(\begin{equation} \lambda(t) = \frac{8 \pi \omega_{z} \hbar^3}{m} a_{s}(t) \end{equation}\) 其中 $\omega_z$ 为z方向俘获频率。注意到引入了 $U(1)$ 规范场 \(A = (A_0, \vb*{A})\)，和外部俘获势有关系 \(A_0(t, \vb*{r}) = V(t, \vb*{r}) / \hbar\)，以下只考虑各向同性势 \(\begin{equation} V(t, r) = \frac{m}{2} \omega^2(t) f(r) \end{equation}\)
将场分为线性部分和背景部分： \(\begin{equation} \Phi(t, \vb*{r}) = \phi_0(t, \vb*{r}) + \frac{1}{\sqrt{2}} \qty[\phi_1(t, \vb*{r}) +\ii \phi_2(t, \vb*{r})] \end{equation}\) 背景场 \(\phi_0(t, \vb*{r})\) 对应无源情况，应该是 Gross-Pitaevskii 方程的解，在 Madelung 表示下可以写成 \(\begin{equation} \phi_0(t, \vb*{r}) = \sqrt{n_0(t, \vb*{r})} \ee^{\ii S_0(t, \vb*{r})} \end{equation}\) 其中 \(n_0(t, \vb*{r})\) 为背景粒子密度，\(S_0(t, \vb*{r})\) 表示凝聚态平均场的背景相位。将表示代入G-P方程可以知道背景场满足流体动力学守恒方程和 Euler 方程。
将作用量 \eqref{math:3.1} 展开到 $\phi_1$ 和 $\phi_2$ 的二阶项，注意到线性项会互相抵消，只考虑二阶项 \(\Gamma_2[\phi_1, \phi_2]\)，为简化，做 $U(1)$ 规范变换 \(\begin{equation} \begin{aligned} \phi_0 + \frac{1}{\sqrt{2}} \qty[\phi_1 + \ii \phi_2] &\rightarrow \ee ^{-\ii S_0} \qty(\phi_0 + \frac{1}{\sqrt{2}} \qty[\phi_1 + \ii \phi_2]) \\ A_0 &\rightarrow A_0 + \partial_t S_0\\ \vb*{A} &\rightarrow \vb*{A} + \grad{S_0} \end{aligned} \end{equation}\) 此后 $\phi_0$ 变为实场，如果变换前规定了 $A_0 = V / \hbar$ 以及 $\vb*{A} = 0$，则此后 \(\begin{equation} A_0 = \frac{V}{\hbar} + \partial_t S_0, \quad \vb*{A} = \grad{S_0} \end{equation}\) 再利用Euler方程最终得到 \(\begin{equation} \Gamma_2[\phi_1, \phi_2] = \int \dd{t} \dd[2]{r} \qty{-\frac{\hbar^2}{4m}(\grad{\phi_2})^2 - \frac{1}{2} \phi_1 \qty(2\lambda n_0 - \hbar^2 \frac{\laplacian}{2m}) \phi_1 + \phi_1 \qty[-\hbar \partial_t \phi_2 - \frac{\hbar^2}{m} (\grad{S_0}) \grad{\phi_2} - \frac{\hbar^2}{2m} (\laplacian{S_0}) \phi_2]} \end{equation}\)
考虑软区域的小动量近似，忽略 $\hbar^2 \frac{\laplacian}{2m}$，此时 $\phi_1$ 可以被积分出去，故仅对 $\phi_2$ 有二次有效作用量。再近似，假设背景速度 $\vb*{v} = \frac{\hbar}{m} \grad{S_0}$ 为常数，则忽略 $\laplacian{S_0}$ 项。重新定义场 $\phi \equiv \phi_2 / \sqrt{2m}$，使它具有相对论标量场的标准质量量纲，则此时 \(\begin{equation} \Gamma_2[\phi] = \frac{\hbar^2}{2} \int \dd{t} \dd[2]{r} \qty{\frac{1}{c^2} (\partial_t \phi)^2 - (\grad{\phi})^2 + \frac{2}{c^2} (\partial_t \phi) \vb*{v} \vdot \grad{\phi} +\frac{1}{c^2} (\vb*{v} \vdot \grad{\phi})^2} \end{equation}\) 其中引入了时空依赖的声速 \(\begin{equation} c^2(t, \vb*{r}) = \frac{\lambda(t) n_0(t, \vb*{r})}{m} \end{equation}\)
对比自由无质量标量场的有效作用量 \(\begin{equation} \Gamma_2[\phi] = \frac{\hbar^2}{2} \int \dd{t} \dd[2]{r} \sqrt{g} g^{\mu\nu} \pp_{\mu} \phi \pp_{\nu} \phi \end{equation}\) 其中 $\sqrt{g} = \sqrt{-\det(g_{\mu\nu})}$，对比两式可以得到度规： \(\begin{equation} (g^{\mu\nu}) = \begin{pmatrix} -1 & v^j \\ v^i & c^2 \delta^{ij} - v^i v^j \end{pmatrix} \end{equation}\) \(\begin{equation} (g_{\mu\nu}) = \frac{1}{c^2} \begin{pmatrix} -(c^2 - v^2) & -v^j \\ -v^i & \delta^{ij} \end{pmatrix} \end{equation}\)
稳定静态密度分布对应 $\vb*{v} = 0$，此时声学度规线元为 \(\begin{equation} \dd{s^2} = g_{\mu\nu} \dd{x^{\mu}} \dd{x^{\nu}} = - \dd{t^2} + \frac{m}{n_0(r) \lambda(t)} (\dd{r^2} + r^2 \dd{\phi^2}) \end{equation}\) 若此时 $n_0 \lambda / m = 1$，则得到的就是平直的 Minkowski 度规线元。
DCE 量子化
考虑 $d = 1 + 1$ 维的动边界条件的 Klein-Gordon 方程，为方便起见，假设左边界固定在原点处： \(\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &\pdv[2]{\phi(t, x)}{t} - \pdv[2]{\phi(t, x)}{x} = 0 \\ &\phi(t, x=0) = \phi(t, x=q(t)) = 0, \quad \forall t \end{aligned} \right. \end{equation}\) 其中省略了初始条件，且对边界速度有要求 $\abs{\dot{q}(t)} < 1$，此处单位 $c = \hbar = 1$。
考虑坐标变换满足 \(\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \tau + \rho &= R(t + x) \\ \tau - \rho &= R(t - x) \\ \end{aligned} \right. \end{equation}\) 其中 $R(z)$ 为连续函数，定义域 $z \in (-\infty, \infty)$，值域 $R(z) \in (-\infty, \infty)$，我们想要将动边界问题化简为静边界问题，即要求边界条件变为 \(\begin{equation} \phi(\tau, \rho=0) = \phi(\tau, \rho=1) = 0, \quad \forall \tau \end{equation}\) 则对于 $R(z)$ 有要求 \(\begin{equation} R[t + q(t)] = R[t - q(t)] + 2 \end{equation}\) 将 $(t, x)$ 转换到 $(\tau, \rho)$ 坐标后，原 Klein-Gordon 方程变为 \(\begin{equation} R'[R^{-1}(\tau + \rho)] R'[R^{-1}(\tau - \rho)] \qty[\pdv[2]{\phi(\tau, \rho)}{\tau} - \pdv[2]{\phi(\tau, \rho)}{\rho}] = 0 \end{equation}\) 忽略前面系数，仍然可以认为是 Klein-Gordon 方程。
容易写出静边界问题的解： \(\begin{equation} u_n(\tau, \rho) = \frac{1}{2 \ii \sqrt{n \pi}} \qty[\ee^{-\ii n \pi (\tau - \rho)} - \ee^{-\ii n \pi (\tau + \rho)}] \end{equation}\) 此本征基 ${u_n, u_n^*}$ 满足 Klein-Gordon 内积的正交关系，内积定义为 \(\begin{equation} \langle u_n(\tau, \rho), u_m(\tau, \rho) \rangle = \ii \int \qty(u_m \pdv{u_n^*}{\tau} - u_n^* \pdv{u_k}{\tau}) \dd{\rho} \end{equation}\) 转换到 $(t, x)$ 坐标下，解为 \(\begin{equation} u_n(t, x) = \frac{1}{2 \ii \sqrt{n \pi}} \qty[\ee^{-\ii n \pi R(t-x)} - \ee^{-\ii n \pi R(t+x)}] \end{equation}\)
利用 $R(z)$ 的坐标变换将动边界转换为静边界的问题是精确可解的，称之为 type-A 问题。若存在两个 type-A 问题，且这两个动边界 $q_1(t)$ 和 $q_2(t)$ 满足 $q_1(0) = q_2(0) = q_0$，则可以将其连接成 \(\begin{equation} q(t) = \begin{cases} q_1(t) , t < 0 \\ q_2(t) , t > 0 \end{cases} \end{equation}\) 此时对二者的基 \(\{u_{1n}, u_{1n}^*\}\) 和 \(\{u_{2n}, u_{2n}^*\}\) 显然是不同的，量子化后的产生湮灭算符不同，故真空态也不同，为 $\ket{0_1}$ 和 $\ket{0_2}$，可以计算 \(\begin{equation} \ev{N_1}{0_2} = \ev{N_2}{0_1} = \sum_{k, n} \frac{1}{16 \pi^2 n k} \abs{\int_{-q_0}^{q_0} \ee^{\ii n \pi R_1(z)} \ii \overleftrightarrow{\pdv{z}} \ee^{\ii k \pi R_2(z)} \dd{z}}^2 \end{equation}\)
实际上，只有边界静止时粒子数算符的平均值才有意义，故考虑实际情况，从静止边界 $q_1(-\infty) = D$ 开始，经过一定的运动，到另一个静止边界 $q_1(+\infty) = d$。提出另一个 type-A 问题 $q_2(t) = d$，则可以在 $t = +\infty$ 时将其连接，粒子数算符平均值为 \(\begin{equation} \ev{N_{2k}}{0_1} = \sum_{n=1}^{\infty} \abs{\beta_{nk}}^2 \end{equation}\) \(\begin{equation} \abs{\beta_{nk}}^2 = \frac{1}{4 n k} \lim_{t \rightarrow + \infty} \abs{\int_{0}^{d} \qty{\qty[\frac{k}{d} - n R'_1(t-x)]\ee^{-\ii n \pi R_1(t-x)} - \qty[\frac{k}{d} - n R'_1(t+x)]\ee^{-\ii n \pi R_1(t+x)}} \sin(\frac{k \pi}{d} x) \dd{x}}^2 \end{equation}\)