理论力学复习笔记

新开一个复习笔记系列，因为研究生入学要考试（悲），被告知选一些课程即可，故也不会所有课程全总结一遍的，进一步因为人比较懒，估计内容也不会很全面，只是自用而已

在本科时本课程的教材是《理论力学教程》¹，内容较为简单、朴实无华，最后一章才碰上一点点分析力学，前面基本就是普通物理力学篇的内容及一点点延伸，或者对于竞赛生来说就完全是大纲内的东西了（

质点力学

运动学

运动的描述方法

欧式空间直接的数学化表示就是直角坐标系，由空间向数域映射肯定需要加点东西，在基矢下可以用坐标描述空间中的位置了，选不同的基矢就有不同的坐标系，比如柱面、球面、自然等等坐标系

绝对时空观虽然方便但是不合物理，描述物品（抽象为一个点就叫质点）在空间中的位置应该要来个参考系，这样能得到相对位置。质点在参考系中的位置矢量（位矢 $\vb*{r}$）的变化就是位移 $\Delta \vb*{r}$，然后从数学上定义出瞬时速度 $\vb*{v}(t) = \dot{\vb*{r}}(t)$，再导一次就是瞬时加速度 $\vb*{a}(t) = \dot{\vb*{v}}(t) = \ddot{\vb*{r}}(t)$

上述形式定义一般会在具体坐标系中根据基矢展开进行计算，要小心某些坐标系的基矢是含时变化的，最经典的例子是平面极坐标系： $\begin{equation} \vb*{v} = \dot{r} \vb*{e}_{r} + r \dot{\theta} \vb*{e}_{\theta} , \end{equation}$

$\begin{equation} \vb*{a} = \qty( \ddot{r} - r \dot{\theta}^2 ) \vb*{e}_{r} + \qty( r \ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta} ) \vb*{e}_{\theta} . \end{equation}$ 式中那两个单位矢量就是径向和横向单位矢量。另一个经典好用的例子是自然坐标系，其基矢就粘在轨迹上，被称为切向和法向，速度就是路程求导、方向沿着切向，切向加速度就是速度求导，法向加速度就是 $v^2 / \rho$，$\rho$ 是轨迹那点的曲率半径

平动参考系

无绝对时空观，但一般会认为实验室系 / 地面系是静止的参考系 $S$，此中物体的运动相关量称为“绝对”的；另有一个运动的参考系 $S’$，其相对于 $S$ 系的运动相关量称为“牵连”的；物理在 $S’$ 系中的运动相关量称为“相对”的

动力学

运动定律

Newton 第一定律（惯性定律）: 任何物体如果没有受到其它物体的作用，则保持静止或匀速直线运动状态
Newton 第二定律: 当一物体受到外力作用时，该物体所获得的加速度和外力成正比，和物体本本身的质量成反比，加速度的方向和外力的方向一致，数学表达即：$\vb*{F} = m \vb*{a}$
Newton 第三定律: 当一物体 A 对另一物体 B 有一个作用力的同时，物体 B 也对该物体 A 有一个反作用力，二者大小相同，方向相反，且在同一直线上

上述 Newton 三定律成立的参考系称作惯性参考系

运动微分方程

根据 Newton 第二定律，列出位移的二阶微分方程，接着一般会在某个参考系下写出分量形式求解

非惯性系

静止系 $S$ 中 Newton 运动定律成立，但如果 $S’$ 系相对 $S$ 系有加速度，那 $S’$ 系是非惯性参考系了，$S’$ 系中 Newton 运动定律不成立，进一步说就是需要引入惯性力才能成立。数学上来说，设 $\vb*{a}$ 为绝对加速度（即 $S$ 系看到的），$\vb*{a}_0$ 为牵连加速度，$\vb*{a}'$ 为相对加速度（即 $S’$ 系看到的），则有 $\vb*{F} = m \vb*{a} = m (\vb*{a}_0 + \vb*{a}')$，稍稍改形式得 $\vb*{F} + (- m \vb*{a}_0) = m \vb*{a}'$，如果引入惯性力 $(- m \vb*{a}_0)$，则表面上 Newton 运动定律可以在非惯性系 $S’$ 系中成立了，注意到惯性力是牵连加速度和物体质量的乘积，不过方向相反

也就是说，在非惯性参考系中研究时，懒得考虑牛二就直接引入惯性力，后面就可用静力学平衡来分析了

功与能

功: 力乘以质点在力的方向所产生的位移，即 $W = \int_{\text{A}}^{\text{B}} \vb*{F} \vdot \dd{\vb*{r}}$，单位为 $\mathrm{J}$
功率: 单位时间内所作的功，即 $P = \dot{W}(t) = \vb*{F} \vdot \vb*{v}$，单位为 $\mathrm{W}$， $1 \ \mathrm{W} = 1 \ \mathrm{J / s}$

能的概念比较麻烦一点，可以说是物理具有多少做功的能力，动能来自物体的速度，势能来自物体间的位置变化

保守力: 力所做的功与中间路径无关，或者沿任何闭合路径力做功为零，充要条件是 $\curl \vb*{F} = 0$

保守力做功只和物体的位置变化有关，故可以引入全局的一个标量来标识每个位置的做功能力，即势能，当然这个标量可以任意加上常数，因为我们只需要它的差值来计算功，从势能可以很方便的得到保守力 $\vb*{F} = - \grad{V}$

能量、动量与守恒定律

定义动量 $\vb*{p} = m \vb*{v}$，立即有微分形式的动量定理 $\vb*{F} = \dv{\vb*{p}}{t}$，然后两边对时间积分得到积分形式的动量定理（冲量定理），力对时间定积分就定义为冲量，另外，如果没有力，那么动量守恒

定义矩 $\vb*{M} = \vb*{r} \cross \vb*{F}$，同样也可以定义角动量 $\vb*{J} = \vb*{r} \cross \vb*{p}$，则立即有微分形式的角动量定理 $\vb*{M} = \dv{\vb*{J}}{t}$，接着两边对时间积分就能变成积分形式的定理，力矩对时间定积分就定义为冲量矩，另外，如果合力矩为零，则有角动量守恒

由动力学方程（Newton 第二定律的位移二阶微分形式）可以推出 $\dd(\frac{1}{2} m v^2) = \vb*{F} \vdot \dd{\vb*{r}}$，式子左边是动能的微分，故积分一下就可得到动能的变化等于作用在物体上的力所做的功，即动能定理

若物体只受到保守力作用，则力可由势场的梯度给出，积分一下得到不变量 $E = T + V = \frac{1}{2} m v^2 + V(\vb*{r})$，称作总机械能，换句话说，质点所受的力都是保守力时，动能与势能的总和不变，这就是机械能守恒定律

有心力

质点所受力的作用线始终通过某一个定点，我们就说这个力是有心力，定点称作力心，从力心来看，质点角动量守恒

此类问题利用极坐标是方便的，横向运动方程等价于角动量守恒，径向运动方程为 $m \qty(\ddot{r} - r \dot{\theta}^2) = F (r)$，定义 $u = r^{-1}$，令 $h = r^2 \dot{\theta}$，并联立两个方程，可以消去时间得到轨道运动方程，即 Binet 公式：

\[\begin{equation} h^2 u^2 \qty(\dv[2]{u}{\theta} + u) = - \frac{F}{m} . \end{equation}\]

设有心力为万有引力 $F = - GMm r^{-2}$，代入上式可解得轨道方程为标准圆锥曲线方程 $r = p / (1 + e \cos{\theta})$，其中 $p = h^2 / k^2 , \ Ap = e, \ k^2 = GM$，$A$ 为积分常数

已知有心力是保守力，故对于万有引力来说，积分后得势能 $V(r) = - GMm r^{-1}$，利用机械能守恒和角动量守恒也可以推出轨道方程

Kepler 定律：

第一定律：行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的一个焦点上
第二定律：行星绕太阳之间的连线，在相等时间内扫过的面积相等（等价于角动量守恒）
第三定律：行星公转的周期的平方和轨道半周长 $a$ 的立方成正比

对椭圆轨道，总机械能为 $ - GMm / (2a) $，机械能守恒可知从地球发射的最低速度，即第一宇宙速度（环绕速度）为 $v_1 = \sqrt{gr} = 7.9 \ \mathrm{km / s}$，能完全脱离地球引力的第二宇宙速度（逃逸速度）为 $v_2 = \sqrt{2 g r} = 11.2 \ \mathrm{km/s}$，此外，能脱离太阳系的第三宇宙速度不容易计算，近似值为 $v_3 \simeq 16.5 \ \mathrm{km/s}$

略去平方反比引力的轨道稳定性分析，以及略去平方反比斥力的相关内容，基本思路是一样的，另外此处有介绍散射截面的概念和 Rutherford 散射公式，但我觉得出现在这里有点怪怪的（

质点系力学

质点系及守恒定律

质点系就是许多相互联系着的质点所组成的力学体系，质点间的相互作用的力称为内力，质点系以外的物体对质点系内任一质点的作用力称为外力，显然内力总和为零，若质点系不受到外力作用则称为孤立系或闭合系

质心即质点系的质量中心，数学定义为：$\vb*{r}_C = \sum^{n}_{i=1} m_i \vb*{r}_i / \sum^{n}_{i=1} m_i$，对连续性物体求和要换成积分

定义质点系的总动量为 $\vb*{p} = \sum^{n}_{i=1} m_{i} \vb*{v}_{i}$，则由内力总和为零可知 $\dv{\vb*{p}}{t} = \sum^{n}_{i=1} \vb*{F}_{i}^{\text{(e)}}$，式中上标 $\text{(e)}$ 表示是外力，这就是质点系的动量定理。进一步，令总质量 $m = \sum^{n}_{i=1} m_{i}$，易知 $\vb*{p} = m \dot{\vb*{r}}_C$，则有 $m \ddot{\vb*{r}}_C = \sum^{n}_{i=1} \vb*{F}_{i}^{\text{(e)}}$，这就是质心运动定理。接着，当外力总和为零时，质点系的总动量守恒，质心速度不变，这称作质点系的动量守恒定律

内力成对出现，且方向相反大小相当在同一直线上，故对某点的力矩和为零，定义对某固定点的总角动量 $\vb*{J} = \sum^{n}_{i=1} \vb*{r}_i \cross \vb*{p}_i$ 和外力力矩和 $\vb*{M} = \sum^{n}_{i=1} \vb*{r}_i \cross \vb*{F}_i^{\text{(e)}}$，则易得 $\dv{\vb*{J}}{t} = \vb*{M}$，这就是质点系的动量矩定理。如果外力对选取的固定点合力矩为零，则总角动量不变，这叫质点系动量矩守恒定律。注意到若固定点选取为质心，则质心系（非惯性系）所引入的惯性力通过质心从而不提供力矩，则仍有质点系的动量矩定理的形式，这称作质点系对质心的动量矩定理

对一般的质点系而言，内力做功不是零（非刚体内力会做功），故质点系的动能定理并没有什么特殊之处，直接是全部质点的总和即可，即必须考虑所有内力和外力。当所有内力和外力都是保守力时，质点系总机械能守恒，称为质点系的机械能守恒定律。考虑质心参考系，质心系中各个质点的位移定义为 $\vb*{r}'_{i}$，则易证明质点系的总动能 $T = \frac{1}{2} m \vb*{r}^2_C + \frac{1}{2} \sum^{n}_{i=1} m_i {\vb*{r}'_i}^2$，用语言描述，就是总动能等于质心动能加上各质点对质心的相对动能，这称为 König 定理（柯尼希定理 Konig’s theorem）。最后，质心的动能定理表述为质点系对质心的相对动能的微分，等于质点系相对质心系位移时内力和外力所作的元功之和，其形式与质点系的动能定理基本相同，只不过所有绝对位移换成了质心系的相对位移罢了

两体问题略，一般是在行星绕恒星公转或者电子绕原子核的时候用的，此时恒星质量不变，行星质量修正为二者的调和平均，即 $\mu^{-1} = m^{-1} + M^{-1}$

质心坐标系与实验室坐标系略

变质量物体的运动

设物体质量为 $m$，速度为 $\vb*{v}$，一微小质量 $\Delta m$ 以速度 $\vb*{u}$ 运动并在 $\Delta t$ 时间内和物体合并，而后整体速度增加 $\Delta \vb*{v}$，同时整体受到的合外力为 $\vb*{F}$，则由动量定理有 $\qty(m + \delta m) \qty(\vb*{v} + \Delta \vb*{v}) - m \vb*{v} - \Delta m \vb*{u} = \vb*{F} \Delta t$，取极限 $\Delta t \rightarrow 0$ 同时约去二阶小量则得到变质量物体动力学方程（密歇尔斯基公式 Meshcherskii formula）：

\[\begin{equation} \dv{t}(m \vb*{v}) - \dv{m}{t} \vb*{u} = \vb*{F} . \end{equation}\]

位力定理 Virial theorem

定义 $G = \sum_{i=1}^{n} \vb*{p}_{i} \vdot \vb*{r}_{i}$，对时间求导后可得到 $\dot{G} = \sum_{i=1}^{n} \qty(m_i v_i^2 + \vb*{F}_i \vdot \vb*{r}_i) = 2T + \sum_{i=1}^{n} \vb*{F}_i \vdot \vb*{r}_i$，两边做一下平均（对时间定积分后除以积分上下限差的时间），注意到 $G$ 有上限导致其时间平均可以任意小，故直接忽略得到：

\[\begin{equation} \overline{T} = - \frac{1}{2} \overline{\sum_{i=1}^{n} \vb*{F}_i \vdot \vb*{r}_i} . \end{equation}\]

上式右边称为位均力积，简称位力，故上式称为位力定理。利用此定理可以证明单个质点受有心力作用，有 $2 \overline{T} = \overline{r \pdv{V}{r}}$，对于平方反比引力来说有 $2 \overline{T} = - \overline{V}$

刚体力学

概念

刚体: 特殊的质点系，其中任何两个质点间的距离不会因力的作用发生改变

刚体运动的分类：

平动：整体一起动，可以直接看为质点
定轴转动：始终有根轴不动
平面平行运动：任意一点始终在某一固定平面内
定点转动：只有一点固定不动
一般运动：三平动三转动共六个独立变量

刚体转动并不对易，但微小转动是对易的，可以看作矢量，那利用它至少可以定义角速度 $\vb*{\omega} = \dv{\vb*{n}}{t}$，这是刚体在某一瞬间绕某一转轴（转动瞬轴）转动的角速度，据此我们可以得到刚体内一点的线速度为 $\vb*{v} = \vb*{\omega} \cp \vb*{r}$

Euler 角

定点转动有三个转动自由度，用 Euler 角（欧拉角）可以表示，如图 1 所示，这里有两组坐标系，$O \textrm{ - }\xi\eta\zeta$ 是固定在空间中的，而活动坐标系 $O \textrm{ - }xyz$ 是固定在刚体上的，$z$ 轴就是瞬时转动轴，三个转动角分别称为进动角 $\varphi$、自转角 $\psi$、章动角 $\theta$，从空间固定系转动到刚体固定系，需要以进动、章动、自转进行三次转动

图 1 Eular 角描述示意

利用上图进行矢量分解可以发现 Euler 角速度和刚体角速度 $\vb*{\omega}$ 的关系，写成活动坐标轴 $O \textrm{ - }xyz$ 的分量形式，称为 Euler 运动学方程：

\[\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \omega_x &= \dot{\varphi} \sin{\theta} \sin{\psi} + \dot{\theta} \cos{\psi} \\ \omega_y &= \dot{\varphi} \sin{\theta} \cos{\psi} - \dot{\theta} \sin{\psi} \\ \omega_z &= \dot{\varphi} \cos{\theta} + \dot{\psi} \end{aligned} \right. \end{equation}\]

运动方程与静力学

在刚体力学中，力的作用点可以在作用线上的任何位置，这称为力的可传性原理，此处力是滑移矢量

刚体是质点系，所以可以直接套用质点系的动量定理和角动量定理，另外刚体内力不做功故动能变化等于外力做功

对于静力学平衡，令合外力和合外力矩为零即可得到六个分量方程，正好对应六个自由度从而规定位形

转动惯量

刚体角动量 $\vb*{J} = \sum_{i=1}^{n} m_{i} \vb*{r}_i \cp \qty(\vb*{\omega} \cp \vb*{r}_{i}) = \sum_{i=1}^{n} m_{i} \qty[\vb*{\omega} r_i^2 - \vb*{r}_i (\vb*{\omega} \vdot \vb*{r}_i)]$，明显角动量和角速度方向通常不会共线（共线情况：在惯量主轴上）

将上面的表达式在一个正交坐标系中展开，则有：

\[\begin{equation} \mqty[J_x \\ J_y \\ J_z] = \mqty[I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{zx} & -I_{zy} & I_{zz}] \mqty[\omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z] \end{equation}\]

式中，$I_{\alpha \alpha} = \sum_{i=1}^{n} m_i \qty(\beta_i^2 + \gamma_i^2) , \quad I_{\alpha \beta} = I_{\beta \alpha} = \sum_{i=1}^{n} m_i \alpha_i \beta_i, \quad \alpha, \beta, \gamma \in \{x,y,z\}$，它们是惯量张量的九个分量，对角元称为轴转动惯量，非对角元称为惯量积。注意到二阶张量也就是三阶方阵是实对称的，也就是说可以通过一个正交变换使其对角化，或者说就是让其对角化的相似矩阵是个三维空间转动矩阵（书上定义了惯量椭球来说明），一定能找到一组正交坐标轴使得惯量张量是对角的，此时称三个轴为惯量主轴，特征值表为 $I_1, I_2, I_3$，称为主转动惯量。此时角动量 $\vb*{J} = I_1 \omega_x \vb*{i} + I_2 \omega_y \vb*{j} + I_3 \omega_z \vb*{k}$ 和转动动能 $T = \frac{1}{2} \qty(I_1 \omega_x^2 + I_2 \omega_y^2 + I_3 \omega_z^2)$ 有较为简单的形式。很直观的一个结论就是惯量主轴的方向通常是刚体的对称轴

刚体的各种运动

这部分简略，少写了很多东西，实际做题时实在不行就一点点分析呗

定轴转动一般轴上是有力的，受力分析的时候需要注意

平面平行运动注意，一般会从质心开始考虑，从质心系换到地面系时是有个换系的，而且质心系是非惯性系也是转动参考系，这个下一章会说明，虽然刚体限制了科氏加速度之类的乱七八糟的东西产生，但向心加速度和切向加速度肯定是有的

定点转动有一个转动瞬轴，刚体各点速度很容易给出，加速度要小心，也是个转动参考系，有向轴加速度和转动加速度，因为定点所以只有三个自由度，可以用 Euler 角表示，此时写出的动力学方程称为 Euler 动力学方程，不过这方程非常难解，书中讨论了各种对称性下的特殊情况

在匀强磁场中，旋转着的带电物体的磁矩可以证明与角动量有关，即 $\vb*{\mu} = \frac{e}{2m} \vb*{J}$，因磁力矩为 $\vb*{M} = \vb*{\mu} \cp \vb*{B}$，则可得动力学方程 $\dv{\vb*{J}}{t} = - \frac{e \vb*{B}}{2 m} \cp \vb*{J}$，注意到角动量的变化速度始终和角动量方向垂直，故角动量 $\vb*{J}$ 大小不变，方向是绕着磁场强度 $\vb*{B}$ 在旋转，转动角速度为 $\vb*{\omega}_l = - \frac{e \vb*{B}}{2 m}$，这叫做 Larmor 进动（拉莫尔进动 Larmor precession），而 $\vb*{\omega}_l$ 称为 Larmor 频率，这是经典的推导，其实量子化的推导也能得出一样的结论

转动参考系

平面转动参考系

设平面转动参考系 $S’$ 以角速度 $\vb*{\omega}$ 绕垂直平面的轴旋转，很容易给出基矢对时间的一阶导（或者直接用位移矢量导数推），则绝对速度 $\vb*{v} = \vb*{v}' + \vb*{\omega} \cp \vb*{r}$，再求导可得绝对加速度 $\vb*{a} = \vb*{a}' + \dot{\vb*{\omega}} \cp \vb*{r} - \omega^2 \vb*{r} + 2 \vb*{\omega} \cp \vb*{v}'$，式子右边最后一项是 Coriolis 加速度（科里奥利加速度），第一项是相对加速度，中间两项是换系的牵连加速度

空间转动参考系

设平面转动参考系 $S’$ 以角速度 $\vb*{\omega}$ 旋转，对此参考系中的任一矢量 $\vb*{G}$ 来说，其在绝对的地面系中的对时间导数为 $\dv{\vb*{G}}{t} = \dv{^{\star} \vb*{G}}{t} + \vb*{\omega} \cp \vb*{G}$，式中 $\dv{^{\star} \vb*{G}}{t} = \dot{G_x} \vb*{i} + \dot{G_y} \vb*{j} + \dot{G_z} \vb*{k}$，稍稍观察发现 $\dv{^{\star} \vb*{G}}{t}$ 是 $S’$ 系中看到的变化率，称为相对变化率，而 $\vb*{\omega} \cp \vb*{G}$ 是换参考系带来的，称为牵连变化率

有上述普适结论则容易得到绝对速度 $\vb*{v} = \vb*{v}' + \vb*{\omega} \cp \vb*{r}$，和绝对加速度 $\vb*{a} = \vb*{a}' + \vb*{a}_t + \vb*{a}_c$，其中 $\vb*{a}'$ 是相对加速度，牵连加速度为 $\vb*{a}_t = \dv{\vb*{\omega}}{t} \cp \vb*{r} + \vb*{\omega} (\vb*{\omega} \vdot \vb*{r}) - \omega^2 \vb*{r}$，Coriolis 加速度为 $\vb*{a}_c = 2 \vb*{\omega} \cp \vb*{v}'$

非惯性系动力学

基本略

简单说说，就是在非惯性的转动参考系中，如果还想直接列静力学或者动力学方程（相对加速度的），需要将牵连加速度和 Coriolis 加速度乘上物体质量后反向施加在物体上，这就是之前说过的非惯性力，不过很显然也可以直接写出绝对加速度来列方程，这只是一个问题的两种不同的思考方式罢了

换到非惯性的转动参考系有什么好处吗？直观！但是代价是什么呢，多出了惯性力，比如惯性离心力和 Coriolis 力等等，最好的例子就是我们站在地球上，地球其实是匀速转动参考系，所以有些不那么直观的现象就是地球转动造成的，换个角度说就是受到了惯性力作用，离心力的例子就是赤道附近重力没有南北极大、地球是压扁了的椭球等等，Coriolis 力例如信风（贸易风 trade wind）、河岸和轨道磨损、下水口的涡旋、傅科摆（Foucault’s pendulum）……

分析力学

Lagrange 力学

拉格朗日力学（Lagrangian mechanics），我就直接写成 Lagrange 力学啦~

大量质点组成的体系，其中所有运动都和质点的位置和运动有关，则这种体系称为力学体系，此中常常有一些限制质点自由运动的条件，称为约束，不含时约束称为稳定约束，否则为不稳定约束，质点不能脱离的是不可解约束（等号），否则为可解约束（大于、小于、大于等于、小于等于），只限制位置的是几何约束 / 完整约束，进一步限制质点速度的是运动约束 / 微分约束，如果微分约束不能积分成为几何约束则称为不完整约束，只含有完整约束的力学体系叫完整系，否则为不完整系

对于 $n$ 个质点的力学体系，如果有 $k$ 个几何约束，则独立坐标减少到 $(3n - k)$ 个，力学体系只有几何约束时，独立坐标的数目称做自由度，令 $s = 3n-k$，则可用独立参数 $q_1, q_2 , \cdots, q_s$ 和时间 $t$ 来表示整个体系中所有质点的位置和运动信息了，$s$ 个独立参数称为广义坐标

质点由于运动发生的位移称为实位移 $\dd{\vb*{r}}$，质点在某一时刻，在约束许可下发生的无限小变更，想象中的位移称为虚位移 $\var{\vb*{r}}$，在稳定约束下，实位移是虚位移中的一个。作用在质点上的力 $\vb*{F}$ 和任意虚位移 $\var{\vb*{r}}$ 所做的功称为虚功，如果作用在一个力学体系上的所有约束反力（约束造成的力）在任意虚位移中所做的虚功之和为零，即 $\sum_{i=1}^{n} \vb*{F}_{\text{r} i} \vdot \var{\vb*{r}_{i}} = 0$，则这种约束称为理想约束，光滑无摩擦的、刚性的、不可伸长的东西都是理想约束

虚功原理: 若平衡体系受到理想约束，已知约束反力虚功之和为零，则系统平衡的充要条件为 $\var{W} = \sum_{i=1}^{n} \vb*{F}_{i} \vdot \var{\vb*{r}_i} = 0$，也就是主动力在任意虚位移中所做的元功之和等于零

由虚功原理，将位移用广义坐标展开 $\var{\vb*{r}_i} = \sum_{i=1}^{n} \pdv{\vb*{r}_i}{q_{\alpha}} \var{q_{\alpha}}$，可得独立条件 $Q_{\alpha} = 0 \quad (\alpha = 1,2,\cdots,s)$，其中 $Q_{\alpha} = \sum_{i=1}^{n} \qty(\vb*{F}_i \vdot \pdv{\vb*{r}_i}{q_{\alpha}})$ 称为广义力

虚功原理最大的用途就是计算主动力，约束反力因几何约束而被消除，实际上工作量并未减少，因为需要几何约束来算虚位移关系啊！如果想要计算约束反力，则需用 Lagrange 未定乘数法，就是给虚位移关系弄上乘数再和虚功原理的等式相加，未定乘数乘上约束方程的梯度就是约束反力

由 Newton 运动定律和虚功原理，得 $\sum_{i=1}^{n} \qty(\vb*{F}_i - m_i \ddot{\vb*{r}}_{i}) \vdot \var{\vb*{r}_i} = 0$，将虚位移在广义坐标下展开，经过较为复杂的推导后可以得到： $\begin{equation} \dv{t}(\pdv{T}{\dot{q}_{\alpha}}) - \pdv{T}{q_{\alpha}} = Q_{\alpha} \quad (\alpha = 1,2,\cdots,s) \label{math:1} \end{equation}$ 式中 $T$ 为体系总动能，$Q_{\alpha}$ 为广义力，$\dot{q}_{\alpha}$ 称为广义速度，$\pdv{T}{\dot{q}_{\alpha}}$ 称为广义动量，此即基本形式的 Lagrange 方程

在保守力系中，力是势能的梯度的反向，故可推得 $Q_{\alpha} = - \pdv{V}{q_{\alpha}}$，定义 Lagrange 函数（Lagrangian Function） $L = T - V$，从而式 $\eqref{math:1}$ 化简为： $\begin{equation} \dv{t}(\pdv{L}{\dot{q}_{\alpha}}) - \pdv{L}{q_{\alpha}} = 0 \quad (\alpha = 1,2,\cdots,s) \label{math:2} \end{equation}$ 这称为保守力系的 Lagrange 方程

拉氏函数 $L$ 不显含某一坐标 $q_i$，则 $\pdv{L}{\dot{q}_i}$ 为一常数（广义动量守恒），$q_i$ 称为循环坐标，对应的积分称为循环积分

如果动能是广义速度的二次齐函数 $T = T_2$ 则有 $T+V=E$（机械能守恒），这称为能量积分，如果动能不含时但是广义速度的二次非齐次函数 $T = T_2 + T_1 + T_0$，则有 $T_2 - T_0 + V = h$，这不代表总能量守恒，称为广义能量积分

冲击运动和不完整约束的 Lagrange 方程略

小振动

设一个完整、稳定、保守的理想体系在平衡位置时的广义坐标 $q_{\alpha} (\alpha = 1,2,\cdots,s)$ 均等于零（总可以通过线性变换做到），假设偏移是微小的，势能在平衡点展开，零阶是常数可以设为零，一阶项因为是平衡点所以为零（广义力等于零），故可取二阶项并忽略高阶项有 $V = \frac{1}{2} \sum_{\alpha, \beta = 1}^{s} c_{\alpha \beta} q_{\alpha} q_{\beta}$，其中 $c_{\alpha \beta} = \eval{\pdv{V}{q_{\alpha}}{q_{\beta}}}_{0}$ 是常数，称为恢复系数或准弹性系数，下标的 $0$ 代表是平衡点的值；稳定约束下动能是速度的二次齐函数，故 $T = \frac{1}{2} \sum_{\alpha, \beta = 1}^{s} a_{\alpha \beta} \dot{q}_{\alpha} \dot{q}_{\beta}$，$a_{\alpha \beta}$ 在平衡点展开取零阶项常数，称为惯性系数。将表达式代入 Lagrange 方程可以得到动力学方程 $\sum_{\beta=1}^{s} \qty(a_{\alpha \beta} \ddot{q}_{\beta} + c_{\alpha \beta} q_{\beta}) = 0 \quad (\alpha = 1,2,\cdots,s)$，这是线性齐次常微分方程组，猜解为指数形式代入即可，最后将解化为简谐振动形式（三角函数形式）后可以得到 $s$ 个特征值转化的频率，称为简正频率，若找到一组对广义坐标的线性变换让动能和势能变为正则形式（没有交叉项），或者说让坐标独立，又或者说是矩阵对角化，则此变换得到的新坐标称为简正坐标

Hamilton 力学

Hamilton 正则方程

哈密顿力学（Hamiltonian mechanics），哈密顿正则方程（Hamilton’s canonical equations）

在式 $\eqref{math:2}$ 中，令 $p_{\alpha} = \pdv{L}{\dot{q}_{\alpha}} \ (\alpha =1,2,\cdots,s)$ 为独立变量，想要将拉氏函数 $L$ 中的独立变量 $\dot{q}_{\alpha}$ 变为 $p_{\alpha}$，需做 Legendre 变换（勒让德变换），引入 $H(p,q,t) = -L + \sum_{\alpha=1}^{s} p_{\alpha} \dot{q}_{\alpha}$，微分后推导得 $\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \dot{q}_{\alpha} &= \pdv{H}{p_{\alpha}} \\ \dot{p}_{\alpha} &= -\pdv{H}{q_{\alpha}} \end{aligned} \right. \quad (\alpha = 1, 2, \cdots, s) , \end{equation}$ 以及 $\pdv{H}{t} = - \pdv{L}{t}$，这称为 Hamilton 正则方程，$H$ 称为 Hamilton 函数，$p_{\alpha}$ 和 $q_{\alpha}$ 通常叫做正则变量，代表了 $2s$ 维相空间中的一个相点的坐标

将 Hamilton 函数对时间求导，可推得 $\dv{H}{t} = \pdv{H}{t}$，若其不显含时间，则为一积分常数，这就代表能量积分，与前述 Lagrange 方程差不多，另外循环积分几乎一样不再赘述

Poisson 定理

Poisson（泊松）

设函数 $\varphi$ 是正则变量和时间的函数，将其对时间求导可得 $\dv{\varphi}{t} = \pdv{\varphi}{t} + \comm{\varphi}{H}$，其中 $\comm{\cdot}{\cdot}$ 称为 Poisson 括号，定义为： $\begin{equation} \comm{\varphi}{H} = \sum_{\alpha=1}^{s} \qty(\pdv{\varphi}{q_{\alpha}} \pdv{H}{p_{\alpha}} - \pdv{\varphi}{p_{\alpha}} \pdv{H}{q_{\alpha}}) \end{equation}$

怪哦，一般都是用花括号的，中括号少见啊，虽然其实对应量子力学中的对易子

Poisson 括号的一大堆性质略，以及知道用它也可以方便地表示 Hamilton 正则方程

设 $\varphi(\vb*{p};\vb*{q};t) = C_1$ 和 $\psi(\vb*{p};\vb*{q};t) = C_2$ 是正则方程的两个积分，则利用一些性质和正则方程可以推得 $\comm{\varphi}{\psi} = C_3$ 也是正则方程的一个积分，这称为 Poisson 定理

Hamilton 原理

变分全部采取等时变分，也就是变分和时间求导可以随意交换顺序，保守力系作用下可以推导出 $\var{\int_{t_1}^{t_2} L \dd{t}} = 0$，这就是 Hamilton 原理的数学表达，定义 $S = \int_{t_1}^{t_2} L \dd{t}$ 为作用量（作用函数），当它表示为端点时间和位置的函数时也称为主函数。Hamilton 原理的文字表述如下：保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一初位形转移到另一已知位形的一切可能运动中，真实运动的主函数具有稳定值，即主函数的变分等于零 $\var{S} = 0$

很熟悉的东西，变分的另一种说法就是泛函导数，经典场论一般都是从 Hamilton 原理推导出 Lagrange 运动方程的，不过本书反过来了

正则变换

如果通过某种变数的变换，能够找到新的函数 $H^{*}$，使正则方程的形式不变，则这种变换称为正则变换。新旧正则变量间有关系 $P_{\alpha} = P_{\alpha} \qty(p_1, p_2, \cdots, p_{s}; q_1, q_2, \cdots, q_{s}; t), \quad Q_{\alpha} = Q_{\alpha} \qty(p_1, p_2, \cdots, p_{s}; q_1, q_2, \cdots, q_{s}; t) \quad (\alpha = 1, 2, \cdots, s)$，可用变分证明正则变换的条件为 $\sum_{\alpha=1}^{s} \qty(p_{\alpha} \dd{q_{\alpha}} - P_{\alpha} \dd{Q_{\alpha}}) + (H^{*} - H) \dd{t} = \dd{U}$，$U$ 称为母函数（生成函数），根据其依赖的独立变量的不同，共有四种形式的正则变换：

$U(\vb*{q}, \vb*{Q}, t)$ 形式，有 $p_{\alpha} = \pdv{U}{q_{\alpha}}, \quad P_{\alpha} = -\pdv{U}{Q_{\alpha}}, \quad H^{*} - H = \pdv{U}{t}$
$U(\vb*{p}, \vb*{Q}, t)$ 形式，有 $q_{\alpha} = -\pdv{U}{p_{\alpha}}, \quad P_{\alpha} = -\pdv{U}{Q_{\alpha}}, \quad H^{*} - H = \pdv{U}{t}$
$U(\vb*{q}, \vb*{P}, t)$ 形式，有 $p_{\alpha} = \pdv{U}{q_{\alpha}}, \quad Q_{\alpha} = \pdv{U}{P_{\alpha}}, \quad H^{*} - H = \pdv{U}{t}$
$U(\vb*{p}, \vb*{P}, t)$ 形式，有 $q_{\alpha} = -\pdv{U}{p_{\alpha}}, \quad Q_{\alpha} = \pdv{U}{P_{\alpha}}, \quad H^{*} - H = \pdv{U}{t}$

嗯，就是多元微积分学的一点点小技巧罢了，正则变换的目的在于寻找到新的正则变量，使得 Hamilton 函数中的独立变量最少，这样就可以最大程度地利用循环积分（也就是找到最多的广义动量守恒），但是啊，找合适的母函数是非常困难的（

Hamilton-Jacobi 理论

Hamiltonian-jacobi theory（哈密顿-雅可比理论）

找母函数太难了，于是换个办法，取母函数 $S(\vb*{q}, \vb*{P}, t)$，也就是上面第三种形式，我们的目标是让 $H^{*} = 0$，根据上面的两个条件立即得： $\begin{equation} \pdv{S}{t} + H \qty(t; q_1, q_2, \cdots, q_s; \pdv{S}{q_1}, \pdv{S}{q_2}, \cdots, \pdv{S}{q_s}) = 0 . \end{equation}$ 这称为 Hamilton-Jacobi 偏微分方程

如果 Hamilton 函数不显含时间，且约束是稳定的，则 $H=E$ （不稳定约束下常数就不是能量了），推一推就可得 $S = -Et + W(q_1, q_2, \cdots, q_s, \alpha_2, \alpha_3, \cdots, \alpha_s, E) + C$，其中 $\alpha{s}$ 为任意常数，也是新的广义动量，$W$ 为一新函数，不包含时间，常称为 Hamilton-Jacobi 特性函数

下面就是怎么使用它了，略，感觉就是点微积分技巧，或者是我根本没懂这一部分，嘛，反正不太会考

相积分和角变数的部分略，这是周期运动下的特殊玩意

Liouville 定理（刘维尔定理）

Liouville 定理: 保守力学体系在相空间中代表点的密度，在运动过程中保持不变

广义动量和广义坐标构成的相空间是 $2s$ 维的，这是统计力学的一个基本定理，要求系统（系综）统计平衡，不平衡就有个相流

既然是统计力学的那就略啦~可能会在热统里提到。这部分主要是推导定理的数学表达式，也算是证明吧

《理论力学教程（第四版）》，周衍柏编，高等教育出版社 ↩

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