固体物理复习笔记

新开一个复习笔记系列，因为研究生入学要考试（悲），被告知选一些课程即可，故也不会所有课程全总结一遍的，进一步因为人比较懒，估计内容也不会很全面，只是自用而已

本科时本课程的参考书是黄昆的固体物理¹，其实本来都准备选普通物理了，毕竟量力是高阶原子物理、理力是高阶力学、热统包括热力学，所以按理说会轻松点，一看考纲，算了吧，现代光学就够呛了，都考的话复习内容太多了，也不知道考试难度如何，如果都是竞赛内内容还好，就怕万一……而且我累了，随便翻翻找到了很久前的复习笔记，那固体物理就好写多了，不过这样的话，就没啥解释内容了，本篇笔记的前六章会非常非常简略，如果没有学过这门课基本看不懂的，至于七、八、九三章，事实上本科课程没讲过，然而考纲里有，那就现学吧（

晶体结构

简单立方晶格（sc）：$\alpha$ - $\mathrm{Po}$ 钋
体心立方晶格（bcc）：$\mathrm{Li}$、$\mathrm{Na}$、$\mathrm{K}$、$\mathrm{Rb}$、$\mathrm{Cs}$、$\mathrm{Fe}$ ……
六角密排晶格（hcp）：$\mathrm{Be}$、$\mathrm{Mg}$、$\mathrm{Zn}$、$\mathrm{Cd}$
面心立方晶格（fcc）：$\mathrm{Cu}$、$\mathrm{Ag}$、$\mathrm{Au}$、$\mathrm{Al}$
金刚石晶格结构：在 fcc 的基础上，四个空间对角线的 $\frac{1}{4}$ 处添加原子，例：$\mathrm{Ge}$、$\mathrm{Si}$ ……

$\mathrm{Zn S}$ 中 $\mathrm{Zn}^{2+}$ 和 $\mathrm{S}^{2-}$ 各自是 fcc，组合成金刚石结构；$\mathrm{NaCl}$ 中 $\mathrm{Na}^{+}$ 和 $\mathrm{Cl}^{-}$ 各自是 fcc，组合成 sc；$\mathrm{CsCl}$ 中 $\mathrm{Cs}^{+}$ 和 $\mathrm{Cl}^{-}$ 各自是 sc，组合成 bcc ……

原胞（primitive cell）: 晶格中的最小重复单元吗，其边矢量 $\vb*{a}_1, \vb*{a}_2, \vb*{a}_3$ 称为基矢
简单晶格: 原胞中只有一个原子，由完全等价的一种原子构成
复式晶格: 原胞中含有两个及以上原子
晶体学惯用晶胞 / 单胞（unit cell）: 为了反映晶格的对称性，选取了较大的重复单元，棱：晶轴，变长：晶格常数
Wigner-Seitz 原胞: 以某一格点为中心，作其它格点连线的垂直平分面，最小区域就称为 W-S 原胞
Bravais 格子（布拉伐格子 bravais lattice）: 空间点阵，即格矢 $\vb*{R}_n = n_1 \vb*{a}_1 + n_2 \vb*{a}_2 + n_3 \vb*{a}_3$ 的全部端点的集合
基元: 原子、分子或分子团，放在 Bravais 格子的格点上就是晶体
晶向指数: 晶列的方向是晶向，用 $l_1 \vb*{a}_1 + l_2 \vb*{a}_2 + l_3 \vb*{a}_3$ 矢量可以表述，记 $[l_1, l_2, l_3]$ 为原胞基矢作为基矢的晶向指数；记 $[l_1 \ l_2 \ l_3]$ 为惯用晶胞基矢作为基矢的晶向指数；另外，记 $\expval{l_1 \ l_2 \ l_3}$ 为等价类，比如 $\expval{1 \ 0 \ 0} = \{[1 \ 0 \ 0], [\bar{1} \ 0 \ 0], [0 \ 1 \ 0], [0 \ \bar{1} \ 0], [0 \ 0 \ 1], [0 \ 0 \ \bar{1}] \}$（上划线表示负号）
晶面指数（Miller（密勒）指数）: 晶面在三个基矢 / 晶轴上的截距分别为 $\frac{\abs{\vb*{a}_1}}{h_1} \ \frac{\abs{\vb*{a}_2}}{h_2} \ \frac{\abs{\vb*{a}_3}}{h_3}$，记 $(h_1, h_2, h_3)$ 为原胞基矢作为基矢的晶面指数；记 $(h_1 \ h_2 \ h_3)$ 为惯用晶胞基矢基矢作为基矢的晶面指数；另外，记 $\{h_1 \ h_2 \ h_3\}$ 为等价类
倒格子: 倒格矢 $\vb*{G}_{h_1 h_2 h_3} = h_1 \vb*{b}_1 + h_2 \vb*{b}_2 + h_3 \vb*{b}_3$，其中基矢定义为 $\vb*{a}_i \vdot \vb*{b}_j = 2 \pi \delta_{ij}\ (i, j \in \{1, 2, 3\})$，故基矢为 $\vb*{b}_{i} = 2\pi \frac{\vb*{a}_j \cp \vb*{a}_k}{\vb*{a}_1 \vdot (\vb*{a}_2 \cp \vb*{a}_3)} \ (\{i,j,k\} = \{1,2,3\}, \{2,3,1\}, \{3,1,2\})$，注意晶面 $(h_1 \ h_2 \ h_3)$ 与 $\vb*{G}_{h_1 h_2 h_3}$ 正交，面间距 $d = \frac{2 \pi}{\abs{\vb*{G}_{h_1 h_2 h_3}}}$

对称操作群 = 平移对称群 + 点群（32 种），这一部分可以参考群论导论，点群包括不动元 $C_1$、回转群 $C_2, C_3, C_4, C_6$、双面群 $D_2, D_3, D_4, D_6$、立方点群（48 个） $O_h$、正四面体点群（24 个） $T_d$ ……32 个点群 $\rightarrow$ 7 个晶系和 14 种 Bravais 格子：

三斜系：简单三斜
单斜系：简单单斜、底心单斜
正交系：简单正交、底心正交、体心正交、面心正交
四方系：简单四方、体心四方
三角系：三角
六角系：六角
立方系：简单立方、体心立方、面心立方

设对称操作的正交变换矩阵为 $A$，满足 $A^{\mathrm{T}} = A^{-1}$，则物理量应该满足 $\varepsilon = A^{\mathrm{T}} \varepsilon A$

Bragg（布拉格）衍射 $2 d \sin{\theta} = \mu \lambda$ 等价于 Laue（劳厄）方程 $\vb*{R}_{\vb*{l}} \vdot (\vb*{S} - \vb*{S}_0) = \mu \lambda$ $\Leftrightarrow$ $\vb*{k} - \vb*{k}_0 = \vb*{G}_{\vb*{n}}$

散射强度 $I \propto \abs{S_{\vb*{G}_{\vb*{h}}}}^2$ 由两方面影响：

几何散射因子：晶胞内原子的具体位置，有 $S_{\vb*{G}_{\vb*{h}}} = \int_{\Omega} \rho(\vb*{r}) \ee^{- \ii \vb*{G}_{\vb*{h}} \vdot \vb*{r}} \dd{V} = \sum_i \ee^{- \ii \vb*{G}_{\vb*{h}} \vdot \vb*{r}_{i}} f_i$
原子散射因子：原子种电子数目和分布，有 $f_i = \int_{\Omega} \rho(\vb*{\tau}_i) \ee^{- \ii \vb*{G}_{\vb*{h}} \vdot \vb*{\tau}_i} \dd{\vb*{\tau}_i}$

固体的结合

结合类型：离子性、共价、金属性、范德瓦尔斯

晶体类型：离子、共价、金属、分子、氢键

离子性结合的晶体为离子晶体：Coulomb（库伦）吸引、Pauli（泡利）不相容排斥，最大配位数为 8，稳定性高，导致导电性能差、熔点高、硬度、膨胀系数小，例子：$\mathrm{NaCl}, \mathrm{K Cl}, \mathrm{Ag Br}, \mathrm{Pb S}, \mathrm{Mg O}, \mathrm{Cs Cl}, \mathrm{Tl Br}, \mathrm{Tl I}, \mathrm{Zn S}, \cdots$

设晶胞中有 $N$ 个原胞，系统内能 $U = N \qty[- \frac{\alpha q^2}{4\pi \varepsilon_0 r} + 6 \frac{b}{r^n}] = N \qty(-\frac{A}{r} + \frac{B}{r^n})$，用 $\dv{U}{V} = 0$ 可定体积、求出晶格常量，体变模量 $\kappa = \frac{- \dd{p}}{\dd V / V} = V \dv[2]{U}{V}$
共价结合的晶体为共价 / 原子（同极）晶体：饱和性——只能形成一定数量的共价键、方向性——只能在特定方向上形成共价键，电子轨道交叠（交换力）、轨道杂化 $\mathrm{sp}$（直线）、$\mathrm{sp}^2$（三角）、$\mathrm{sp}^3$（四面体）导致了共价键的形成
金属性结合的晶体为金属晶体：每个原子最外层电子为所有原子共有，Coulomb（库伦）吸引、电子动能和电子云重叠排斥
van der Waals（范德瓦尔斯）结合：瞬时偶极矩吸引、Pauli（泡利）不相容排斥，$u(r) = 4 \varepsilon \qty[\qty(\frac{\sigma}{r})^{12} - \qty(\frac{\sigma}{r})^6]$ 得 $U(r) = \frac{1}{2} N (4\varepsilon) \qty[A_{12} \qty(\frac{\sigma}{r})^{12} - A_6 \qty(\frac{\sigma}{r})^6]$

负电性：原子得失电子能力，数值为 $0.18 (\text{电离能} + \text{亲和能}) \ (\mathrm{eV})$，电离能是失去一个电子的能量，亲和能是吸收一个电子的能量

晶格振动与晶体的热学性质

晶格振动

简谐近似 $H = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3N} m_i \dot{\mu}_i^2 + \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^{3N} \qty(\pdv[2]{V}{\mu_i}{\mu_j})_0 \mu_i \mu_j$，作简正坐标变换 $\sqrt{m_i} \mu_i = \sum_{j=1}^{3N} a_{ij} Q_j$，可得 $H = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3N} \dot{Q}_i^2 + \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{3N} \omega_i Q_i^2$，通过 Hamilton（哈密顿）正则方程可得 $\ddot{Q}_i + \omega_i^2 Q_i = 0, \ i=1,2,\cdots,3N$，易解得 $Q_j = A \sin(\omega_i^2 Q_i + \delta)$，代入坐标变换得 $\mu_i = \sum_j \frac{a_{ij}}{\sqrt{m_i}} Q_j$，量子化后得到 $\varepsilon_i = \qty(n_i + \frac{1}{2}) \hbar \omega_i$

一维单原子链：$\beta (\mu_{n+1} - \mu_n) - \beta (\mu_{n} - \mu_{n-1}) = \beta (\mu_{n+1} + \mu_{n-1} -2 \mu_n) = m \dv[2]{\mu_n}{t}\ (n = 1, 2, \cdots, N)$，通解 $\mu_n = \sum_{q} \mu_{nq}$，设 $\mu_{nq} = A \ee^{\ii (\omega t - naq)}$ 可得到 $\omega^2 = \frac{4\beta}{m} \sin[2](\frac{aq}{2})$，在周期性边界条件下 $q = \frac{2\pi n}{N a}$，称 $q \in \big( \frac{-\pi}{a}, \frac{\pi}{a} \big]$ 为第一 Brillouin（布里渊）区。在长波极限下，有 $\omega = a \sqrt{\frac{\beta}{m}} q$，可得弹性波波速 $v = \sqrt{\frac{\kappa}{\rho}} = a \sqrt{\frac{\beta}{m}}$

一维双原子链：$\omega^2_{\pm} = \beta \frac{M + m}{mM} \qty[1 \pm \sqrt{1 - \frac{4Mm}{M + m} \sin[2](aq)}]$，其中 $\omega_+$ 是光学支，$\omega_-$ 是声学支

三维复式格子（一个原胞 $n$ 个原子）：$3$ 支声学波，$(3n-3)$ 支光学波，$\vb*{q} = \frac{h_1}{N_1} \vb*{b}_1 + \frac{h_2}{N_2} \vb*{b}_2 + \frac{h_3}{N_3} \vb*{b}_3$，当 $-\frac{N_1}{2} < h_i < \frac{N_1}{2}, \ i = 1, 2, 3$ 时称为倒格子（W-S）原胞的第一 Brillouin（布里渊）区

声子准动量守恒 $\hbar(\vb*{q}_1 + \vb*{q}_2) = \hbar (\vb*{q}_3 + \vb*{G}_{\vb*{h}})$，进一步有 $\vb*{p} - \vb*{p}' = \pm \hbar \vb*{q} \pm \hbar \vb*{G}_{\vb*{n}}$，另外有声子能量守恒 $\frac{p'^2}{2M_n} - \frac{p^2}{2M_n} = \pm \hbar \omega$

离子晶体的长光学波：（声学：相同方向振动；光学：不同方向振动）长光学波使晶格出现宏观极化，有黄昆方程： $\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \ddot{\vb*{W}} &= b_{11} \vb*{W} + b_{12} \vb*{E} \\ \vb*{P} &= b_{21} \vb*{W} + b_{22} \vb*{E} \end{aligned} \right. \ . \end{equation}$ 其中 $b_{12} = b_{21}$，$\vb*{P}$ 是宏观极化强度，$\vb*{E}$ 是宏观电场强度，$\vb*{W} = \sqrt{\frac{\overline{M}}{\Omega}} (\vb*{\mu_{+}} - \vb*{\mu_{-}})$，式中 $\Omega$ 是原胞体积，$\overline{M}$ 是正负离子约化质量，$(\vb*{\mu_{+}} - \vb*{\mu_{-}})$ 是正负离子距离

长光学纵波 LO（极化声子）、长光学横波 TO（电磁声子）二者有 Lyddano-Sachs-Teller 关系 $\frac{\omega_{\text{LO}}}{\omega_{\text{TO}}} = \sqrt{\frac{\varepsilon(0)}{\varepsilon(\infty)}}$，介电常数 $\varepsilon(\omega) = \varepsilon(\infty) + \frac{\varepsilon(0) - \varepsilon(\infty)}{\omega_0^2 - \omega^2 - \ii \omega r} \omega_0^2$，当电磁场频率等于横光学波频率时 $\omega = \omega_0$ 共振吸收（电远红外吸收）

晶体热容

其实这部分应该去看热统中的固体热容的 Einstein 理论和正则系综的固体热容理论，不过两边记号差的挺多，还是简单记一下吧

实验在低温下发现，金属热容 $C_V = \gamma T + A T^3$，第一项是电子对比热贡献，第二项是晶格振动贡献

一个振动模 $\overline{E}_j(T) = \frac{1}{2} \hbar \omega_j + \frac{\sum_{n_j} n_j \hbar \omega_j \ee^{-n_j \hbar \omega_j / (k_{\text{B}} T)}}{\sum_{n_j} n_j \ee^{-n_j \hbar \omega_j / (k_{\text{B}} T)}} = \frac{1}{2} \hbar \omega_j + \pdv{\beta} \ln \sum_{n_j} \ee^{-n_j \beta \hbar \omega_j} = \frac{1}{2} \hbar \omega_j + \hbar \omega_j \frac{1}{\ee^{\beta \hbar \omega_j} - 1}$

对 $N$ 个原子 $\overline{E} = \sum_{j=1}^{3N} \overline{E}_j(T) = \sum_{j=1}^{3N} \frac{\hbar \omega_j}{\ee^{\beta \hbar \omega_j} - 1} = \int_0^{\omega_m} \frac{\hbar \omega}{\ee^{\beta \hbar \omega} - 1} g(\omega) \dd{\omega}$，热容 $C_V = \qty(\pdv{\bar{E}}{T})_{V}$，自由度要求 $\int_0^{\omega_m} g(\omega) \dd{\omega} = 3N$

Einstein（爱因斯坦）模型：频率相同

Debye（德拜）模型：色散线性，存在最大频率 $\omega_m$，考虑弹性介质，有 $g(\omega) = \frac{3V}{2 \pi^2 \bar{c}^3} \omega^2$，其中 $\frac{1}{\bar{c}^3} = \frac{1}{3} \qty(\frac{1}{c_{\text{l}}^3} + \frac{2}{c_{\text{t}}^3})$，式中 $c_{\text{l}}$ 和 $c_{\text{t}}$ 分别为纵波波速和横波波速

最终解得 $\omega_m = \qty(6\pi^2 \frac{N}{V})^{1/3}$，高温极限 $T \gg \theta_{\text{D}}, \ C_V \approx 3 N k_{\text{B}}$；低温极限 $T \ll \theta_{\text{D}}, \ C_V \approx \frac{12 \pi^4 N k_{\text{B}}}{15} \qty(\frac{T}{\theta_{\text{D}}})^3$，这称为 Debye $T^3$ 律

振动模式密度 $g(\omega) = \frac{V}{(2\pi)^3} \int \frac{\dd{S}}{\abs{\grad_{q} \omega(q)}}$

晶体状态方程与热膨胀：$F = -k_{\text{B}} T \ln{Z} = U + k_{\text{B}} T \sum_j \qty[\frac{1}{2} \frac{\hbar \omega_j}{k_{\text{B}} T} + \ln(1 - \ee^{-\hbar \omega_j / (k_{\text{B}} T)})]$，$p = - \qty(\pdv{F}{V})_{T} = - \dv{U}{V} - \sum_j \overline{E}_j(T) \dv{\omega_j}{V}$，有 Gruneisen（格林艾森）近似 $\gamma = - \dv{\ln{\omega}}{\ln{V}} = \text{const}$，故 $p = - \dv{U}{V} + \gamma \frac{\bar{E}}{V}$

热传导略

能带理论

出发点：共有化电子

Bloch（布洛赫）定理: 对于周期势场 $V(\vb*{r} + \vb*{R}_{\vb*{n}}) = V(\vb*{r})$，Schrödinger（薛定谔）方程的解为 $\Psi(\vb*{r} + \vb*{R}_{\vb*{n}}) = \ee^{\ii \vb*{k} \vdot \vb*{R}_{\vb*{n}}} \Psi(\vb*{r})$，进一步对解集有 $\psi_{\vb*{k}}(\vb*{r}) = \ee^{\ii \vb*{k} \vdot \vb*{r}} u_{\vb*{k}}(\vb*{r})$ 和 $u_{\vb*{k}}(\vb*{r} + \vb*{R}_{\vb*{n}}) = u_{\vb*{k}}(\vb*{r})$，其中用周期边界确定 $\vb*{k} = \frac{l_1}{N_1} \vb*{b}_1 + \frac{l_2}{N_2} \vb*{b}_2 + \frac{l_3}{N_3} \vb*{b}_3$

近自由电子近似

$V(x) = \overline{V} + \Delta V$，利用不含时微扰理论有，零级波函数 $\psi_k^{(0)} (x) = \frac{1}{\sqrt{L}} \ee^{\ii k x}$，零级能量 $E_{k}^{(0)} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} + \overline{V} \ (k = \frac{l}{N a} 2 \pi)$；一级近似 $\mel{k}{H'}{k} = 0, \ E_{k}^{(1)} = 0$；二级近似 $E_{k}^{(2)} = \sum_{k \neq k'} \frac{\abs{\mel{k'}{H'}{k}}^2}{E_k^{(0)} - E_{k'}^{(0)}}$

注意 $k$ 接近 $-\frac{n \pi}{a}$ 需要用简并微扰论：

$\abs{E_k^{(0)} - E_{k’}^{(0)}} \gg \abs{V_n}$，$k$ 离 $-\frac{n \pi}{a}$ 较远，可得 $E_{+} = E_{k'}^0 + \frac{\abs{V_n}^2}{E_{k'}^0 - E_{k}^0} ,\ E_{-} = E_{k}^0 - \frac{\abs{V_n}^2}{E_{k'}^0 - E_{k}^0}$
$\abs{E_k^{(0)} - E_{k’}^{(0)}} \ll \abs{V_n}$，令 $T_n = \frac{\hbar^2}{2m} \qty(\frac{n \pi}{a})^2$，可得 $E_{+} = \overline{V} + T_n + \abs{V_n} + \Delta^2 T_n \qty(\frac{2 T_n}{\abs{V_n}} + 1) ,\ E_{-} = \overline{V} + T_n - \abs{V_n} - \Delta^2 T_n \qty(\frac{2 T_n}{\abs{V_n}} - 1)$

$2 \abs{V_n}$ 称为能隙（禁带宽度），其中 $V_n = \mel{k'}{H'}{k} = \frac{1}{L} \int_0^L H' \ee^{\ii (k - k') x} \dd{x} \quad (k' - k = n \frac{2\pi}{a})$

三维下非简并微扰的不适用条件为 $\abs{\vb*{k}} = \abs{\vb*{k} + \vb*{G}_{\vb*{n}}}$ 或者 $\vb*{G}_{\vb*{n}} \vdot \qty(\vb*{k} + \frac{1}{2} \vb*{G}_{\vb*{n}}) = 0$

紧束缚近似

用 $\varphi_i(\vb*{r} - \vb*{R}_{\vb*{m}})$ 表示孤立原子中电子 Schrödinger 方程的本征态，下标 $i$ 表示是原子的第 $i$ 束缚态，设能级为 $\varepsilon_i$，原子势 $V(\vb*{r} - \vb*{R}_{\vb*{m}})$，晶体势 $U(\vb*{r})$，我们认为 $U - V$ 是微扰，采用简并微扰论，按照原子轨道线性组合法，则有 $\psi(\vb*{r}) = \sum_m a_m \varphi_i(\vb*{r} - \vb*{R}_{\vb*{m}})$，代入可得能量 $E(\vb*{k}) = \varepsilon_i - \sum_s J(\vb*{R}_{\vb*{s}}) \ee^{-\ii \vb*{k} \vdot \vb*{R}_{\vb*{s}}}$，系数 $a_m = \frac{1}{N} \ee^{\ii \vb*{k} \vdot \vb*{R}_{\vb*{m}}}$，有 $-J(\vb*{R}_{\vb*{s}}) = \int \varphi_i^{*} (\vb*{\xi} - \vb*{R}_{\vb*{s}}) \qty[U(\vb*{\xi}) - V(\vb*{\xi})] \varphi_i(\vb*{\xi}) \dd{\vb*{\xi}}$，其中 $\vb*{R}_{\vb*{s}} = \vb*{R}_{\vb*{n}} - \vb*{R}_{\vb*{m}}$ 为原子相对矢径，最终考虑最近邻近似后有 $E(\vb*{k}) = \varepsilon_i - J_0 - \sum_{\text{nearest}} J(\vb*{R}_{\vb*{s}}) \ee^{-\ii \vb*{k} \vdot \vb*{R}_{\vb*{s}}}$（仅对简单晶格单态适用）

Bloch 函数可以展开 $\psi_{nk}(\vb*{r}) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{\vb*{R}_{\vb*{m}}} a_n(\vb*{R}_{\vb*{m}} - \vb*{r}) \ee^{-\ii \vb*{k} \vdot \vb*{R}_{\vb*{m}}}$，其中 $a_n(\vb*{R}_{\vb*{m}} - \vb*{r})$ 称为 Wannier 函数，在紧束缚近似中取其为原子波函数 $\varphi_i$

能带的对称性：

$E_n(\vb*{k}) = E_n(\alpha \vb*{k})$，$\alpha$ 为点群对称操作，如旋转、反演等
$E_n(\vb*{k}) = E_n( \vb*{k} + \vb*{G}_{\vb*{r}})$，有 $\beta \vb*{k} = \vb*{k} \ \text{or} \ \vb*{k} + \vb*{G}_{\vb*{r}}$，其中 $\beta$ 为波矢群
$E_n(\vb*{k}) = E_n(-\vb*{k})$，时间反演对称

能带图的简约区图：简约波矢；扩展区图：正常；周期区图：全画

能态密度 $N(E) = \frac{V}{(2\pi)^3} \int \frac{\dd{S}}{\abs{\grad_{\vb*{k}} E_n(\vb*{k})}}$（自旋要乘以二）

Fermi 面：若有 $N$ 个电子，则 $\vb*{k}$ 空间填充半径为 $k_{\text{F}} = 2 \pi \qty(\frac{3}{8\pi})^{1/3} \qty(\frac{N}{V})^{1/3}$ 的球，详细见金属中的自由电子气体

晶体中电子在电场和磁场中的运动

波包可看作准经典粒子，此近似条件为 $\Delta \ll \frac{2\pi}{a}$（波包远大于原胞），群速度 $\vb*{v}_{k_0} = \frac{1}{\hbar} \qty(\grad_k E)_{k_0}$，再根据准动量定理 $\dv{t}(\hbar \vb*{k}) = \vb*{F}$，故 $\dv{v_{\alpha}}{t} = \frac{1}{\hbar^2} \sum_{\beta} F_{\beta} \pdv[2]{E}{k_{\beta}}{k_{\alpha}}$，注意其中的二阶偏导其实是一个张量，可以写成 $(3 \times 3)$ 的矩阵，对角化后有 $\frac{1}{m^{*}} = \frac{1}{\hbar^2} \mathrm{diag} \qty(\pdv[2]{E}{k_x}, \pdv[2]{E}{k_y}, \pdv[2]{E}{k_z})$，其中 $m^{*}$ 为有效质量，通常在能带底大于零，在能带顶小于零

恒定电场下 $\vb*{F} = - q \vb*{E}$ 有 $k = \frac{1}{\hbar} F t + C$，即在波矢空间匀速，在实空间速度振荡，电场让能带倾斜，Bloch 振荡（电子实空间位置振荡）观察条件 $\omega \tau \gg 1$ 且弱电场（否则隧穿）

恒定磁场下 $\vb*{F} = - q \vb*{v} \cp \vb*{B}$，故 $E(\vb*{k})$ 不变，在等能面上运动，另外 $\vb*{k} \vdot \frac{\vb*{B}}{\abs{\vb*{B}}} = \text{const}$，可知回旋频率 $\omega_c = \frac{2\pi}{T} = \frac{eB}{m}$。对自由电子，平面上做圆周运动，垂直上做匀速运动，量子化有 $H = \frac{1}{2m} (\vb*{p} + q \vb*{A})^2$，得 $E = \frac{\hbar^2 k_z^2}{2 m} + \qty(n + \frac{1}{2}) \hbar \omega_0$，在有效质量近似下有 $\omega_0 = \frac{qB}{m^{*}}$，可以发现能级是量子化的，称为 Landau（朗道）能级

回旋共振，条件为 $\omega_0 \tau \gg 1$ 和 $\hbar \omega_0 \gg k_{\text{B}} T$，在垂直磁场 $\vb*{B}$ 方向上加交变电场，$\omega = \omega_0 = \frac{qB}{m^{*}}$ 则电子共振吸收

De Haas-Van Alphen 效应：磁化率随 $\frac{1}{B}$ 周期振荡。在二维电子气中，Landau 能级简并度 $D = \frac{m L^2}{\pi \hbar^2} \hbar \omega_0 = \frac{L^2 q B}{\pi \hbar}$，有 $\lambda D_1 = (\lambda + 1) D_2 = N$，故 $\Delta \qty(\frac{1}{B}) = \qty(\frac{1}{B_2} - \frac{1}{B_1}) = \frac{2\pi e}{\hbar S_{\text{F}}} = \frac{L^2 e}{\pi \hbar N}$

金属电子论

讲道理这部分也是热统

Fermi 分布：热平衡下，能量为 $E$ 的本征态被电子占据的几率为 $f(E) = \frac{1}{\ee^{\frac{E - E_{\text{F}}}{k_{\text{B}} T}} + 1}$。设 $E$ ~ $E + \dd{E}$ 的状态数为 $N(E) \dd{E}$，则电子总数 $N = \sum_i f(E_i) = \int_0^{\infty} f(E) N(E) \dd{E}$，注意到 $f(E)$ 类似于 $\delta (E - E_{\text{F}})$，当 $T \neq 0 \ \mathrm{K}$ 时引入 $Q(E) = \int_0^{E} N(E) \dd{E}$，则分部积分有 $N = \int_0^{\infty} Q(E) \qty(-\pdv{f}{E}) \dd{E}$，将 $Q(E)$ 在 $E = E_{\text{F}}$ 处展开到二次项最终可得 $N = Q(E_{\text{F}}) + \frac{\pi^2}{6} Q''(E_{\text{F}}) (k_{\text{B}} T)^2$，上式在 $E_{\text{F}}^{0}$ 附近展开到一次项，可得 $E_{\text{F}} = E_{\text{F}}^0 \qty[1 - \frac{\pi^2}{12} \qty(\frac{k_{\text{B}}T}{E_{\text{F}}^0})^2]$

电子热容：总内能 $U = \int_0^{\infty} E f(E) N(E) \dd{E}$，引入 $R(E) = \int_0^E E N(E) \dd{E}$，可得 $U = R(E_{\text{F}}^0) + \frac{\pi^2}{6} N(E_{\text{F}}^0) (k_{\text{B}} T)^2$，故等容热容 $C_V = \qty(\dv{U}{T})_{V} = \qty[\frac{\pi^2}{3} N(E_{\text{F}}^0) k_{\text{B}} T] k_{\text{B}} = \gamma T$，可以发现只有 $E_{\text{F}}^0$ 附近大约 $k_{\text{B}} T$ 范围内的电子对热容有贡献

热电子发射：电流密度 $j = - 4 \pi q \frac{m (k_{\text{B}} T)^2}{(2 \pi \hbar)^3} \ee^{ - W / (k_{\text{B}} T)}$，其中 $W$ 称为功函数，意义为 Fermi 面上电子激发到外部的能量；接触电势 $V_{AB} = \frac{1}{q} (W_B - W_A)$ 是 Fermi 能不一样导致的

电流密度 $\vb*{j} = - 2 q \int f(\vb*{k}) \vb*{v}(\vb*{k}) \frac{\dd{\vb*{k}}}{(2\pi)^3}$，其中 $f(\vb*{k})$ 为非平衡态分布函数

碰撞 $\pdv{f(\vb*{k}, t)}{t} = b - a$ 和漂移 $\pdv{f}{t} = - \dv{\vb*{k}}{t} \vdot \grad_{\vb*{k}} f(\vb*{k}, t)$ 可得 Boltzmann（玻尔兹曼）方程，在定态导电 $\grad_{\vb*{r}} f = 0$ 下，有 $- \frac{q}{\hbar} \vb*{E} \vdot \grad_{\vb*{k}} f = b - a$，有弛豫时间近似和非平衡函数的一级近似得到 $b - a = - \frac{f - f_0}{\tau(\vb*{k})}$，故有 $f_1 = \frac{q \tau}{\hbar} \vb*{E} \vdot \grad_{\vb*{k}} f_0 = \frac{q \tau}{\hbar} \vb*{E} \vdot \grad_{\vb*{k}} \varepsilon(\vb*{k}) \qty(\pdv{f_0}{\varepsilon}) = \frac{q \tau}{\hbar} \vb*{E} \vdot \vb*{v}(\vb*{k}) \qty(\pdv{f_0}{\varepsilon})$，则电流密度 $\vb*{j} = - 2 q^2 \int \tau \vb*{v}(\vb*{k}) \qty[\vb*{v}(\vb*{k}) \vdot \vb*{E}] \qty(\pdv{f_0}{\varepsilon}) \frac{\dd{\vb*{k}}}{(2 \pi)^3}$，电导率张量有 $\sigma_{\alpha \beta} = - 2 q^2 \int \tau(\vb*{k}) v_{\alpha}(\vb*{k}) v_{\beta}(\vb*{k}) \qty(\pdv{f_0}{\varepsilon}) \frac{\dd{\vb*{k}}}{(2 \pi)^3}$，在各向同性情况下有 $\sigma_0 = \frac{n q^2 \tau(E_{\text{F}}^0)}{m^{*}}$

各向同性、散射弹性可得弛豫时间为 $\frac{1}{\tau(\vb*{k})} = \frac{1}{(2\pi)^3} \int \Theta(\vb*{k}, \vb*{k}') (1 - \cos{\theta}) \dd{\vb*{k}'}$，可从晶格散射推出 $\Theta$，继而算出 $\tau$ 和 $\sigma$

高温下 $\sigma \propto \tau \propto T^{-1}$；低温下 $\sigma \propto \tau \propto T^{-5}$

近藤效应: 磁性掺杂非磁性金属，低温电阻有最小值

半导体电子论

基本能带结构

半导体能带中最上面的满带称为价带，最下面的空带称为导带，价带和导带的带隙宽度（能量间隙）用 $E_{\text{g}}$ 表示，在热激发下，价带顶部的电子会跃迁到导带上，故导带底的电子和价带顶的空穴就是导电的来源

光照显然可以激发价带电子到导带，能量满足 $\hbar \omega \geqslant E_{\text{g}}$，故对应的极限光波长为 $\lambda_0 = \frac{2 \pi \hbar c}{E_{\text{g}}}$，这称为本征吸收边。注意到在能带图上，价带顶和导带底可能不在 $\vb*{k}$ 空间相同点，若相同点，则光子导致跃迁应该满足准动量守恒，但光子动量相对较小可以忽略，则跃迁前后电子动量几乎不变，这称为垂直跃迁，此类半导体称为直接带隙半导体；若不同点，则吸收光子必然吸收或发射声子，此过程中声子能量可以忽略，光子动量可以忽略，需满足能量守恒和准动量守恒，这称为非垂直跃迁，是一个二级过程，发生概率较小，此类半导体称为间接间隙半导体。光吸收的逆过程称为电子—空穴对复合发光，发射光子能量基本等于带隙宽度，很显然直接带隙的发光几率远大于间接间隙

用 Bloch 定理和不含时微扰论求电子和空穴有效质量的部分，略

半导体中的杂质

施主指杂质在带隙中提供带有电子的能级，即施主的电子比价带电子更容易跑到导带上，故含施主掺杂的半导体导电主要依靠电子，称为 N 型半导体；受主指杂质提供带隙中空的能级，即电子从价带激发到受主能级上比激发到导带上更容易，故含受主掺杂的半导体导电主要依靠空穴，称为 P 型半导体

类氢杂质能级：在半导体材料中，加入多一个价电子的元素成为施主，加入少一个价电子的元素成为受主，这些杂质的束缚能很小，施主 / 受主能级很靠近导带 / 价带，又称为浅能级杂质

深能级杂质：半导体中有些杂质和缺陷引入的能级较深，大多数是多重能级，比如金在硅中就是二重能级，这种杂质有多方面的作用，比如降低载流子寿命、影响发光效率、提高材料电阻率……

半导体电子 Fermi 统计分布

Fermi 能级 $E_{\text{F}}$ 位于带隙内，且距离导带底 $E_{-}$ 和满带顶 $E_{+}$ 的距离往往比 $k_{\text{B}} T$ 大很多，故有导带电子分布几率近似 $f(E) = \frac{1}{\ee^{(E - E_{\text{F}}) / (k_{\text{B}} T)} + 1} \approx \ee^{-(E - E_{\text{F}}) / (k_{\text{B}} T)}$，这很接近经典的 Boltzmann 分布，与金属的电子简并化不同，另外对满带中的空穴几率有 $1 - f(E) \approx \ee^{-(E_{\text{F}} -E) / (k_{\text{B}} T)}$

设导带底附件的电子和满带顶附近的空穴可以用简单的有效质量 $m_{-}^{*}$ 和 $m_{+}^{*}$ 描述，则能态密度为 $N_{\mp}(E) = \frac{4\pi (2 m_{\mp}^{*})^{3/2}}{h^3} \sqrt{\pm (E - E_{\mp})}$，可计算电子和空穴浓度分别为 $n = \int_{E_-}^{\infty} f(E) N_-(E) \dd{E} = N_{-} \ee^{- (E_- - E_{\text{F}}) / (k_{\text{B}} T)}$ 和 $p = \int^{E_+}_{-\infty} (1 - f(E)) N_+(E) \dd{E} = N_{+} \ee^{- (E_{\text{F}} - E_{+}) / (k_{\text{B}} T)}$，其中有效能级密度 $N_{\mp} = \frac{2 \qty(2 \pi m_{\mp}^{*} k_{\text{B}} T)^{3 / 2}}{h^3}$，注意到二者相乘可得 $np = N_{-} N_{+} \ee^{- (E_- - E_+) / (k_{\text{B}} T)}$

考虑杂质激发，设 N 型半导体主要含一种施主，能级位置为 $E_{\text{D}}$，施主浓度为 $N_{\text{D}}$，在低温下，载流子主要由施主激发至导带的电子，故空的施主能级数目就是导带电子数目，可消去 $E_{\text{F}}$ 列出方程，定义施主的电离能 $E_i = E_- - E_{\text{D}}$ 可化简为二次方程 $\frac{1}{N_-} \ee^{E_i / (k_{\text{B}} T)} n^2 + n = N_{\text{D}}$，解出 $n$ 取正根即可，在低温下有近似 $n \approx \sqrt{N_- N_{\text{D}}} \ee^{- E_i / (2 k_{\text{B}} T)}$，这相当于只有很少部分施主电离的情况；在高温下有近似 $n \approx N_{\text{D}}$，即施主几乎完全电离。在受主浓度 $N_{\text{A}}$ 的 P 型半导体中，能得到相似的结果，在低温下有近似 $p \approx \sqrt{N_{\text{A}} N_+} \ee^{- E_i / (2 k_{\text{B}} T)}$

在足够高温时，本征激发（满带到导带的电子激发）将成为主要的，其特点是电子空穴成对产生和复合，令 $E_{\text{g}} = E_- - E_+$，利用前述普遍结果可得 $n \approx p = \sqrt{N_- N_+} \ee^{- E_{\text{g}} / (2 k_{\text{B}} T)}$

电导与 Hall 效应

霍尔效应 Hall effect

有 Ohm（欧姆）定律 $j = \sigma E$，电导 $\sigma = n q \mu_- + p q \mu_+$，其中 $\mu_-$ 和 $\mu_+$ 分别称为电子和空穴迁移率

半导体片放置在 $xy$ 平面内，电流沿 $x$ 方向，磁场垂直于片面沿 $z$ 方向，载流子将收到 Lorentz（洛伦兹）力偏转，在 $y$ 方向产生电场 $E_y$，假设空穴导电，力平衡时有 $E_y = \frac{1}{p q} j_x B_z = R j_x B_z$，系数 $R = \frac{1}{p q}$ 称为 Hall 系数；电子导电结果是类似的，电场沿着 $-y$ 方向，Hall 系数 $R = - \frac{1}{nq}$ 为负值

非平衡载流子

热平衡时，单位体积电子数 $n_0$ 和空穴数 $p_0$ 满足 $n_0 p_0 = \sqrt{N_+ N_-} \ee^{- E_{\text{g}} / (k_{\text{B}} T)}$，设非平衡载流子数密度 $\Delta n = n - n_0, \ \Delta p = p - p_0$，通常情况下电中性要求 $\Delta p = \Delta n$，对多数载流子（多子）来说，非平衡载流子的影响可以忽略，但对于少数载流子（少子）这种影响是显著的

设非平衡载流子复合率为 $\frac{\Delta n}{\tau}$，则可解得其随时间变化有 $\Delta n = (\Delta n)_0 \ee^{- t / \tau}$，$\tau$ 描述了非平衡载流子的平均存在时间，称为非平衡载流子的寿命

考虑一个一维稳定扩散的情况，譬如以均匀光照射半导体表面，其产生的非平衡少数载流子通过扩散向体内运动，一边扩散一边复合，有扩散流密度 $J = - D \dv{N}{x}$，其中 $D$ 为扩散系数，另外连续性方程（守恒方程）稳定时有 $\dv{J}{x} - \frac{N}{\tau} = 0$，考虑边界条件 $N(x) = N_0, \ N(\infty) = 0$，可解得 $N(x) = N_0 \ee^{- x / L}$，其中 $L = \sqrt{D \tau}$ 称为扩散长度

PN 结

半导体材料中，一部分是 P 型区，一部分是 N 型区，则二者交界面处就形成了 PN 结。由前述可知 N 型半导体电子主导，故 Fermi 能级 $E_{\text{F}}$ 接近于导带，反之 P 型半导体空穴主导 $E_{\text{F}}$ 接近于价带，故两边 Fermi 能级的不同引起了电子流动，产生接触电势差来抵消能级差，热平衡时有 $q V_{\text{D}} = (E_{\text{F}})_{\text{N}} - (E_{\text{F}})_{\text{P}}$，设 $n^0_{\text{P}}$ 和 $n^0_{\text{N}}$ 分别表示 P 型区和 N 型区热平衡时的电子浓度，两侧能级差是 $q V_{\text{D}}$，故有 $\frac{n^0_{\text{P}}}{n^0_{\text{N}}} = \ee^{- q V_{\text{D}} / (k_{\text{B}} T)}$，同理有 $\frac{p^0_{\text{N}}}{p^0_{\text{P}}} = \ee^{- q V_{\text{D}} / (k_{\text{B}} T)}$

当 PN 结有正向偏压时（P 区正电压），电子从 N 型区扩散到 P 型区，空穴与之相反，且都成为非平衡载流子，这称为 PN 结的正向注入，用 $n_{\text{P}}$ 表示 P 型区边界上新的电子浓度，则近似有（多子假设不变）$n_{\text{P}} = n_{\text{N}}^0 \ee^{- q (V_{\text{D}} - V) / (k_{\text{B}} T)}$，与热平衡时比较得到 $n_{\text{P}} = n_{\text{P}}^0 \ee^{qV/(k_{\text{B}} T)}$，由上一节可知扩散电子电流密度 $j_n = - q \frac{D_n}{L_n} n_{\text{P}}^0 \qty( \ee^{qV/(k_{\text{B}} T)} - 1)$，同理可得到空穴的扩散电流密度，综合二者可得总电流密度 $j = -j_0 \qty(\ee^{qV/(k_{\text{B}} T)} - 1 )$，其中 $j_0 = q \qty(\frac{D_n}{L_n} n_{\text{P}}^0 + \frac{D_p}{L_p} p_{\text{N}}^0)$

当 PN 结有反向偏压时（P 区负电压），P 区电子浓度将下降为 $n_{\text{P}} = n_{\text{P}}^0 \ee{-q V_{r} / (k_{\text{B}} T)} \rightarrow 0$，同样的步骤可以得到反向电流密度 $j = j_0 \ (V_{r} \gg \frac{k_{\text{B}} T}{q})$，故 $j_0$ 称为反向饱和电流密度，注意反向电流本质来源于少子

MIS 和 MOS 反型层

金属-绝缘体-半导体系统（简称为 MIS）是三层结构，其中绝缘层采用氧化物则称为金属-氧化物-半导体系统（简写为 MOS），当半导体衬底接地，金属层（常称为栅极）上施加电压时，半导体表面将形成电荷层

以 P 型半导体衬底为例，当栅极电压为正，半导体表面附近空穴浓度减少，形成耗尽层，称表面电势和体内电势的差为表面势 $V_s$，其足够大时，将有可能使表面处的 $E_{\text{F}}$ 进入带隙上半部，此时表面电子浓度将超过空穴浓度，形成电子导电层，称其为反型层（就是正的较大的栅极电压使 P 型半导体表面变成了 N 型半导体），表面反型层的电子一边是绝缘层，另一边由耗尽层空间电荷区电场形成的势垒，故其中电子是被限制在表面附近的，因此，反型层又称沟道，对 P 型半导体，其称为 N 沟道

如果在 P 型衬底的 MOS 系统中增加（两边镶嵌）两个 N 型扩散区，分别称为源区 $S$ 和漏区 $D$，这就成为了 N 沟道的 MOS 晶体管，正常情况下源、漏区被 P 型区隔开，这相当于两个方向相反的 PN 结，故无论源、漏间电压如何，只有少量的反向电流，此时相当于截断；当栅极正电压超过阈值时，表面出现 N 沟道，导通了源、漏区，施加源、漏之间的电压将有大量电流，此时相当于导通

后面的沟道载流子的量子化能级略，异质结和非晶态半导体这两节略，异质结相比同质结、非晶态半导体相比晶态半导体在某些方面有更好的性质巴拉巴拉的，懒得看了（

固体的磁性

原子的磁性

多电子原子的电子状态

多电子原子所处的电子状态决定了原子的磁性，而原子的电子状态主要取决于比较靠外面的不满壳层，将原子核和内部满壳层看作离子实，不满壳层电子在离子实的势场中运动，Hamilton（哈密顿）量为 $H = \sum_i H_i^{(0)} + \sum_{i<j} \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 \vb*{r}_{ij}} + \sum_i H_i^{so}$，其中第一项为单电子 Hamilton 量 $H_i^{(0)} = \frac{\vb*{p}_i^2}{2m} + V(\vb*{r}_i)$，下标 $i$ 标志不同的电子，第二项是 Coulomb（库伦）相互作用，第三项是自旋-轨道相互作用，可以证明 $H_i^{so} = \xi(r) (\vb*{l}_i \vdot \vb*{s}_i)$

只考虑第一项作为零级近似，就是单电子近似，此时各原子的角动量和自旋是好量子数，即可用 $\{l_i s_i\} \ (i = 1, 2, 3, \cdots)$ 来标记原子的电子态（这里我们感兴趣的态一般主量子数 $n$ 是一定的）；进一步计入电子的 Coulomb 相互作用，电子轨道角动量耦合成总轨道角动量 $\vb*{L} = \sum_{i} \vb*{l}_i$，此时 $L$ 和 $S$ 是好量子数，常用 $\ket{L, S}$ 来标记原子的电子态；再进一步考虑自旋-轨道相互作用，则需引入总角动量 $\vb*{J} = \vb*{L} + \vb*{S}$，此时 $J$ 是好量子数，标志多电子原子的状态，用 $\ket{J, M_J, L, S}$，以上这称为 L-S 耦合。另外，当自旋-轨道相互作用大于 Coulomb 相互作用时，单个电子先耦合成总角动量 $j_i$，再互相耦合，这称为 J-J 耦合。对于不太重的元素，都属于 L-S 耦合

Hund 定则

L-S 耦合原子的基态的一般定则，称为 Hund（洪德）定则：

在满足 Pauli（泡利）原理的条件下，$S$ 取最大值
在满足 Pauli（泡利）原理的条件下，$S$ 取最大值的各个状态中 $L$ 最高的态
如果壳层中电子数不到半满，则 $J = \abs{L - S}$，如果超过半满，则 $J = \abs{L + S}$

光谱学符号 $^{2 S+1} L_{J}$，其中轨道量子数 $L = 0, 1, 2, 3, \cdots$ 应该写作对应字母 $S, P, D, F, \cdots$

磁场中的原子

无自旋时，磁场中多电子原子的 Hamilton 量为 $H = \sum_i \frac{1}{2m} \qty[\vb*{p}_i + q \vb*{A}(\vb*{r}_i)]^2 + V(\vb*{r}_1, \vb*{r}_2, \cdots)$，不妨设恒定磁场沿 $z$ 方向 $\vb*{B}_0 = (0, 0, B_0)$，则矢势为 $\vb*{A} = \frac{1}{2} (- B_0 y, B_0 x, 0)$，此时 Hamilton 具体形式为 $H = \qty[\sum_i \frac{1}{2m} p_i^2 + V(\vb*{r}_1, \vb*{r}_2, \cdots)] + \frac{q B_0}{2 m} \sum_{i}(x_i p_{yi} - y_i p_{xi}) + \frac{q^2 B_0^2}{8 m} \sum_{i} (x_i^2 + y_i^2)$，注意第二项括号内是轨道角动量的 $z$ 分量，将含有磁场的项作为微扰，有 $\Delta H = \frac{q B_0}{2 m} \vb*{L}_z + \frac{q^2 B^2_0}{8 m} \sum_i (x^2_i + y^2_i)$，则一级微扰能量为 $\Delta E = \mel{L, M_L}{\Delta H}{L, M_L} = \frac{q B_0}{2 m} M_L \hbar + \frac{q^2 B^2_0}{8 m} \sum_i \overline{(x^2_i + y^2_i)}$，没有磁场时基态对 $M_L$ 量子数简并，但是磁场打破了简并，这称为 Zeeman（塞曼）分裂

考虑磁矩有 $\mu_z = - \pdv{(\Delta E)}{B_z} = - \frac{q}{2m} (M_L \hbar) - \frac{q^2}{4 m} \sum_i \overline{(x^2_i + y^2_i)}$，第一项称为轨道磁矩，是固有磁矩，有 $\vb*{\mu}_L = - \frac{q}{2m} \vb*{L}$，这是顺磁性的来源；第二项为感生磁矩，有 $(\vb*{\mu})_{z} = - \pdv{(\Delta E)}{B_{0z}} = - \frac{q^2}{4m} \sum_{i} (x_i^2 + y_i^2) (\vb*{B}_0)_z$，这是抗磁性的来源

包含自旋，磁矩算符变为 $(\vb*{\mu}_J)_z = - \frac{q}{2m} (\vb*{L})_z -\frac{q}{m} (\vb*{S})_z$，利用一级微扰近似可计算得到 $\vb*{\mu}_J = - g_J \frac{q}{2m} \vb*{J}$，其中 Lander（朗德）因子 $g_J = 1 + \frac{J(J+1) + S(S+1) - L(L+1)}{2J(J+1)}$

固体磁性概述

这真就是个概述，没讲啥啊

当有饱和电子结构时，固有磁矩抵消了，固体是抗磁性的，注意顺磁性的强度远大于抗磁性；金属内层电子和半导体的基本电子结构一样都是饱和的电子结构，因此是抗磁的，但载流子也是有贡献的，一般是顺磁的；杂质和缺陷往往具有未配对的电子，它们的自旋贡献一定的顺磁性

电子的 Pauli 自旋顺磁性与 Landau 抗磁性

载流子的顺磁性是由电子的自旋磁矩在磁场中的取向引起的，在金属中，电子高度简并，需要考虑 Pauli 原理的影响，先讨论 $T \rightarrow 0$ 的情况，外磁场使得能带调整，由一部分电子由自旋反平行转为平行于磁场，近似有 $n = \frac{1}{2} (\mu_{\text{B}} B) N(E_{\text{F}}^0)$，这每个电子磁矩改变了 $\mu_{\text{B}}$，故总磁矩为 $\mu_{\text{B}}^2 N(E_{\text{F}}^0) B$，是顺磁性，磁化率为 $\chi = N(E_{\text{F}}^0) \mu_0 \mu_{\text{B}}^2$，这称为 Pauli 自旋顺磁性，对于有恒定有效质量 $m^{*}$ 的近自由电子，可知 $N(E_{\text{F}}^0) = \frac{3 N}{2 E_{\text{F}}^0}$。若非零温 $T \neq 0$，可证明总磁矩 $M = \mu_{\text{B}}^2 N(E_{\text{F}}^0) B \qty[1 - \frac{\pi^2}{12} \qty(\frac{k_{\text{B}} T}{E_{\text{F}}^0})^2]$，可以看出这基本不受温度影响

电子在磁场作用下的轨道运动可以产生抗磁性，这是因为量子化的 Laudau 能级使得电子系统的能量升高了，故称为 Laudau 抗磁性，利用近自由电子近似可以证明磁化率，非简并情况有 $\chi = \frac{1}{3} n \mu_0 \frac{\mu_{\text{B}}^2}{k_{\text{B}} T} \qty(\frac{m}{m^{*}})^2$，简并情况有 $\chi = \frac{1}{3} N(E_{\text{F}}^0) \mu_0 \mu_{\text{B}}^2 \qty(\frac{m}{m^{*}})^2$，与 Pauli 自旋抗磁性合并，有电子的总磁化率 $\chi = \chi_{\text{顺磁}} \qty[1 - \frac{1}{3} \qty(\frac{m}{m^{*}})^2]$，也就是说电子一般整体呈现顺磁性，但也可能有反常抗磁性

电子的自旋磁矩和核磁矩之间有互相作用，测量金属元素的核磁共振的 Knight（奈特）移动，即频率的改变，可以确定电子的 Pauli 顺磁磁化率

顺磁性的统计理论和顺磁离子盐

原子的基态可以用四个量子数描述，即 $\ket{J, M_J, L, S}$，固有磁矩为 $\vb*{\mu}_J = g_J \frac{q}{2m} \vb*{J}$，角动量分量共 $(2J+1)$ 种取值，在磁场中分裂，近似认为只有这些最低的能态是被热激发的，故磁矩的统计平均为： $\begin{equation} \overline{\mu} = \frac{\sum_{M_J = -J}^{J} (- M_J g_J \mu_{\text{B}}) \ee^{- \frac{M_J g_J \mu_{\text{B}}}{k_{\text{B}} T}}}{\sum_{M_J = -J}^{J} \ee^{- \frac{M_J g_J \mu_{\text{B}}}{k_{\text{B}} T}}} . \end{equation}$ 令 $x = \frac{J M_J g_J \mu_{\text{B}}}{k_{\text{B}} T}$，则可化简为 $\overline{\mu} = J g_J \mu_{\text{B}} B_{J} (x)$，其中 $B_J(x) = \frac{2J + 1}{2J} \coth(\frac{2J+1}{2J} x) - \frac{1}{2J} \coth(\frac{x}{2J})$

对于 $x \ll 1$ 的情况，近似有 $\overline{\mu} = \frac{J g_J \mu_{\text{B}} }{3} \frac{J+1}{J} x$，即 $\overline{\mu} = \frac{\mu_J^2}{3 k_{\text{B}} T} B$，磁化率 $\chi = \frac{\mu_0 \mu_J^2}{3 k_{\text{B}} T}$，此即 Curie（居里）定律；极低温、强磁场情况下可有 $x \gg 1$，此时 $\overline{\mu} = J g_J \mu_{\text{B}}$，这是达到了饱和状态

这节后半部分讲了讲上面的理论的适用性，有几个离子需要考虑二级微扰的感生磁矩，铁族离子需要考虑晶体场，略

铁磁性和分子场理论

铁磁性很强，在极弱磁场下就可接近饱和；只有在铁磁 Curie（居里）温度以下才会有铁磁性，之上会转变为顺磁性；在外磁场中的磁化过程不可逆，外磁场 $H$ 增加到 $H_s$ 时磁化强度 $M_s$ 达到饱和，之后减小外磁场，磁化强度不是原路返回，当 $H=0$ 时，磁化强度稍稍下降仍非零，只有外磁场反向施加到 $-H_c$（矫顽力）时，磁化强度才变为零，如此反复来回可形成闭合的磁滞回线

自发磁化

Weiss（外斯）假设，铁磁体内除了外磁场外还存在分子场 $\gamma \vb*{M}$，设单位体积内有 $N$ 个原子，原子角动量量子数为 $J$，按前述理论有 $M = N J g_J \mu_{\text{B}} B_J(x)$，其中 $x = \frac{J g_J \mu_{\text{B}}}{k_{\text{B}} T} (B + \gamma M)$，对自发磁化，令 $B=0$ 联立上述方程即可，可发现随着 $T$ 的升高，自发磁化 $M$ 从饱和值逐渐降为零，可证明转变点 Curie 温度近似为 $\theta_f = \frac{1}{3 k_{\text{B}}} \gamma N \mu_J^2$，其中 $\mu_J = \sqrt{J(J + 1)} g_J \mu_{\text{B}}$ 为原子磁矩值

高温顺磁性

高温时铁磁体转变为顺磁性，磁化率满足 Curie-Weiss（居里-外斯）定律 $\chi = \frac{\text{const}}{T - \theta_p}$，其中 $\theta_p$ 通常称为顺磁 Curie 温度，由前述知 $M = \frac{N \mu_J^2}{3 k_{\text{B}} T} (B + \gamma M)$，利用自发磁化得到的关系可以最终解得 $\chi = \frac{N \mu_0 \mu_J^2}{3 k_{\text{B}} (T - \theta_{f})}$，注意这里得到了 $\theta_f = \theta_p$，但实际情况不是这样的

后几节略，不在考纲里（

固体中的光吸收

半导体的带间光吸收

激子的光吸收

这一章考点太少，随便看看得了，略（

《固体物理学》，黄昆原著，韩汝琦改编，高等教育出版社 ↩

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